Logaritmi

Logaritmi

Definitia X.1. Fie a R^*_+, a 1 si b R^*₊ două numere reale. Se numeste logaritm al numărului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numărul a, numit bază, pentru a 19219n131t obtine numărul b.

Logaritmul numărului b în baza a se notează log_ab

Evident . Pentru a = 10 obtinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obtinem logaritmi naturali.

Proprietăti:

log_ab = log_ac b = c, (b,c > 0);

log_aa = 1;

log_a1 = 0

log_aa^c = c; log_a=- log_ab; log_ax²ⁿ = 2n log_a x , x 0

;

log_ab log_ba = 1;

Formula de schimbare a bazei logaritmului:

x>0 si y>0 log_axy = log_ax + log_ay;

x>0 si y>0 log_a = log_ax - log_ay; colog_ax = - log_ay

a>1 si x (0,1) log_ax < 0; a>1 si x>1 log_ax > 0;

0<a<1 si x (0,1) log_ax > 0; 0<a<1 si x>1 log_ax < 0;

a>1 si 0<x<y log_ax < log_ay;

x>0, y>0, a>0, b>0, a 1, b 1 ;

x>0, a>0, a 1, n N log_ax = log_ax^n;

x R, a>0, a 1 a^x = e^xlna.

Operatii cu logaritmi zecimali

1. Suma a doi logaritmi: se adună separat caracteristicile (se adună algebric, întrucât există caracteristici pozitive si caracteristici negative) si separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afară de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele două rezultate se adună algebric.

2. Scăderea a doi logaritmi: se adună descăzutul cu logaritmul scăzătorului.

3. Înmultirea unui logaritm cu un număr întreg: când caracteristica este pozitivă, înmultirea se face în mod obisnuit; când caracteristica este negativă se înmulteste separat mantisa si separat caracteristica si se adună algebric rezultatele.

4. Împărtirea unui logaritm printr-un număr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivă, împărtirea se face obisnuit. În cazul în care este negativă se împarte separat mantisa si separat caracteristica; dacă nu se împarte exact cu caracteristica prin numărul dat, atunci se adaugă caracteristicii atâtea unităti negative câte sunt necesare pentru a avea un număr divizibil prin împărtitorul respectiv si, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugă si mantisei tot atâtea unităti, dar pozitive.

X.1. Ecuatii si inecuatii logaritmice fundamentale

log_ax = b, a>0, a 1, b R. Solutia: x = a^b.

log_ax > b, b R. Fie S multimea solutiilor. Avem:

3. log_ax < b, b R. Fie S multimea solutiilor. Avem:

X.2. Ecuatii si inecuatii exponentiale fundamentale

a^x = b, a>0, a 1, b>0. Solutia x = log_ab, b R

a^x = b, a>0, a 1, b 0, nu are nici o solutie reală

a^x > b. Fie S multimea solutiilor. Avem:

a^x < b. Fie S multimea solutiilor. Avem: