Procedee de calcul al integralelor improprii

Abstract:

I Integrale remarcabile

1 Integrala lui Euler

(1.1)

Calculul integralei lui Euler se baz 242h77c eaza pe utilizarea schimbarii de variabila.Punand avem  (1.2)

(1.3)

Substituind in ultima integrala ,o transformam in si, deci, in definitiv pentru determinarea lui J,obtinem ecuatia:

(1.5)

de unde (1.6)

2 Integrala Euler-Poisson

(2.1)

Prin metode obisnuite de calcul diferential se poate stabili cu usurinta ca functia

atinge valoarea sa maxima 1 pentru .Prin urmare,pentru vom avea

.

Punand aici vom obtine :

.

de unde

Marginind in prima dintre aceste inegalitati variatia lui x la intervalul (0,1)(asa ca ) si consinderand in a doua ca x este oarecare ridicam aceste expresii la o putere cu exponentul n oarecare,ceea ce ne da :

Integrand prima inegalitate in intervalul de la 0 la 1,iar a doua de la 0 la + obtinem

Dar

,

si,in sfarsit,

Asadar, valoarea lui K,pe care n-o cunosteam ,poate fi cuprinsa intre urmatoarele 2 expresii

,

si, deci, ridicand la patrat si transformand, obtinem

Din formula lui Wallis

este usor de vazut acum ca cele doua expresii de la extremitati,cand ,tind la aceeasi limita si, prin urmare,

3 Integralele Froullani

Vom examina acum problema existentei si calculului unor integrale improprii particulare,numite de obicei integrale Froullani.

a)Referitor la functia f(x),vom face urmatoarele ipoteze: f(x) este definita si continua pentru exista limita finita

.

Din rezulta clar ca (pentru exista integrala

Integrala propusa, insa, este definita de egalitatea

.

Aplicand ultimelor doua integrale separat teorema generalizata de medie, vom obtine

si, in mod analog,

Intrucat, evident, ,rezulta

(4)

Exemple.1)In cazul integralei

avem ,

si, deci, valoare integralei va fi

2)Fie integrala

.

Inlocuind logaritmii catului cu diferenta logaritmilor,se poate scrie aici

Raspuns:

b)Uneori functia f(x) nu are limita cand , dar in schimb exista integrala

Inlocuind imediat in rationamentul de mai inainte pe , vor ajunge,in loc de relatia (4), la rezultatul

.

Exemplu: (caci integrala dupa cum stim, exista).

c)In mod analog, daca continuitatea functiei f(x) dispare pentru x=0, dar exista integrala

atunci,

De altfel, acest caz se reduce la substitutia anterioara .

II Integrarea functiilor rationale intre limite infinite

Paragraf

In incheiere , vom examina inca un tip particular de intregrala cu limite infinite

in care P(x) si Q(x) sunt polioname intregi.Sa presupunem ca polinomul Q(x) nu are radacini reale si ca gradul lui P(x) este cu cel putin doua unitati mai mic decat gradul lui Q(x).In aceste condii, integrala exista;ramane numai problema calcularii ei.

Daca sunt radacinile diferite ale polinomului Q(x),fractia P(x)/Q(x) se descompune in fractii simple in modul urmator :

(5)

Numarul de fractii din fiecare paranteza fiind egal cu indicele de multuplicitate al radacinii respective.

Aplicand la cazul functiei complexe de variabila reala metodele elementare de calcul al integralelor, vedem imediat ca,pentru m>0,

si, prin urmare,

Pe de alta parte,

si,

Cand , primul termen al sumei din ultima expresie tinde catre 0, iar al doilea, la +, dupa cum

Asadar, ajungem la rezultatul

in care are semnul plus, daca corespunzator este mai mare ca 0, sau semnul minus, in caz contrar.Aceasta formula se poate modifica pe baza urmatoarelor consideratii.Sa inmultim ambii membrii ai indentitatii (5) cu x.Cand membrul intai tinde catre 0,deoarece gradul lui este totusi mai mic decat gradul lui Q(x).In membrul al doilea, la limita, dispar toti termenii cu numitori neliniari, asa ca si limita sumei celorlalti termeni este tot 0.De aici rezulta , daca cu semnul(+) sau (-) se noteaza sumele acelor ,care corespund la >0 si <0, respectiv.Acum se poate scrie formula obtinuta sub forma

In ceea ce priveste calculul coeficientilor , ne vom margini la indicatia privitoare la cazul radacinii simple ,pentru care Q()=0,dar;in dezvoltarea (5), ei ii corespunde un singur termen: Daca se inmultesc ambii membrii ai egalitatii (5) cu , ea se va prezenta sub forma

in care R(x) corespunde grupului de termeni care raman finiti cand x se apropie de .Trecand la limita cand , obtinem

.

Referire la bibliografie [1] ...

Bibliografie

[1] ....