SERII NUMERICE

SERII NUMERICE

Definitii

Fie sirul de numere reale:

Cu ajutorul lor sa formam sirul

Daca sirul este convergent si are limita s atunci putem scrie

Se obisnuieste a se scie aceasta egalitate astfel:

(1)

Membrul doi al relatiei (1) se numeste serie si operatia de adunare reprezentata de o infinitate de ori capata astfel un sens .

Rezultatul acestei operatii este un numar s numit suma seriei.

O serie se noteaza astfel:

sau numai

Numerele se numesc termenii seriei, iar se numesc sirul sumelor partiale ale seriei .

Definitie: Spunem ca seria este convergenta, divergenta sau oscilanta, dupa cum sirul sumelor partiale este convergent (are o limita), divergent (are o limita infinita), oscilant (nu are limita sau are mai multe puncte limita).

2. Conditia necesara si suficienta de convergenta a unei serii

Criteriul general al lui Cauchy: Pentru ca seria

sa fie convergenta este necesar si suficient ca la orice numar sa existe un numar astfel incat pentru orice si orice sa avem

.

Demonstratie: Aplicand sirului sumelor partiale criteriul general al lui Cauchy stabilit la siruri

pentru si ,

gasim:

din care rezulta imediat enuntul de mai sus.

Pentru , pentru , daca seria este convergenta avem urmatoarea teorema:

Teorema: O conditie necesara ca seria sa fie convergenta este ca sirul format cu termenii seriei sa fie convergent catre 0.

Exemple:

Seria este divergenta, desi sirul termenilor sai este convergent catre 0.

Seria este convergenta si sirul termenilor este convergent catre 0.

Sirul este divergent. Sirul este sirul sumelor partiale ale seriei , deci seria numita si serie armonica este divergenta

Sirul este convergent. Prin urmare seria

numita si seria armonica alternanta, este

convergenta.

Din teorema precedenta rezulta urmatoarea

Consecinta: Daca sirul format cu termenii unei serii nu este convergent catre 0, seria nu este convergenta.

Exemplu:

Seria este divergenta deoarece termenul cand .

Definitie: Se numeste restul seriei si se noteaza cu suma seriei urmatoare (daca exista):

Studiul seriilor conduce la doua probleme, si anume:

stabilirea convergentei

calculul sumei (ultima problema este subordonata primei; vom incepe cu stabilirea criteriilor suficiente de convergenta).

3) Serii cu termini pozitivi

Definitie: O serie se numeste serie cu termeni pozitivi daca, incepand de la un rang N , toti termenii , sunt strict pozitivi.

Prin urmare, o serie cu termeni pozitivi are toti termenii strict pozitivi cu exceptia unui numar finit. Prin inlaturarea unui numar finit de termeni dintr-o serie nu se schimba natura seriei, ci numai suma ei. De aceea vom considera in cele ce urmeaza, serii in care toti termenii sunt strict pozitivi, deoarece concluziile privind convergenta sau divergenta lor sunt valabile si pentru seriile in care un numar finit de termeni sunt negativi.

Sumele partiale ale unei serii cu termeni pozitivi formeaza un sir monoton crescator. Folosind rezultatele de la sirurile monotone, avem:

a)      criteriul monotoniei: daca sirul sumelor partiale

ale unei serii cu termini pozitivi este marginit , atunci seria este convergenta iar daca este nemarginit seria este divergenta.

b) criteriul comparatiei: fie si doua serii cu termini pozitivi. Daca exista un numar N astfel incat pentru orice si atunci:

- daca seria este convergenta si seria este convergenta;

- daca seria este divergenta si seria este divergenta.

c) criteriul radacinii sau criteriul lui Cauchy: fie o serie cu termini pozitivi ; daca exista un numar N astfel incat pentru orice sa avem:

seria este convergenta

seria este divergenta

Demonstratie: din enunt rezulta ca pentru orice , , si cum urmeaza ca termenul general al seriei este mai mic decat termenul general al unei serii convergente (seria geometrica cu ratia mai mica decat 1) si, conform primei teoreme a comparatiei, seria este convergenta. In cazul al doilea, si , deci seria este divergenta. Pentru a aplica criteriul lui Cauchy unei serii date, calculam (daca exista) si daca , seria este convergenta, iar daca seria este divergenta. Intr-adevar, daca , putem gasi un numar astfel incat ; fiind punct limita, rezulta ca exista un numar astfel incat pentru orice avem:

adica cu si seria este convergenta. In cazul al doilea , , deci pentru si exista un numar astfel incat pentru orice avem sau cu si seria este divergenta. In cazul cand criteriul lui Cauchy nu se aplica.

Exemplu: fie seria cu termenul general

Aplicam criteriul lui Cauchy:

deci, pentru seria este convergenta iar pentru seria este divergenta. Pentru , seria este divergenta deoarece sirul termenilor seriei nu este convergent catre zero.

d) criteriul raportului sau criteriul lui d'Alembert: fie seria cu termenii pozitivi ; daca exista un numar N astfel incat pentru orice avem:

seria este convergenta

seria este divergenta

Demonstratie: presupunem neegalitatile adevarate pentru ; rezulta in primul caz:

Deci si, cum , dupa prima teorema a comparatiei, urmeaza ca seria este convergenta.

In cazul al doilea avem sirul de neegalitati:

Prin urmare, ; insa , deci seria minoranta a lui este o serie divergenta, deci si seria este divergenta.

In practica se calculeaza (daca exista); daca , seria este divergenta; daca , seria este convergenta; daca , criteriul nu se aplica.

e) criteriul lui Kummer: fie seria termenilor pozitivi Daca exista un sir de numere pozitive si un numar N astfel incat pentru orice avem:

seria este convergenta

iar seria este divergenta, atunci si este divergenta.

Demonstratie: deoarece neegalitatea a se mai poate scrie astfel:

a

dar

deoarece si aplicand criteriul intai al comparatiei rezulta ca seria este convergenta.

f) criteriul lui Raabe si Duhamel: fie seria cu termini pozitivi ; daca exista un numar N astfel incat pentru orice sa avem:

seria este convergenta

seria este divergenta

Demonstratie: in practica se calculeaza (daca exista). Daca seria este convergenta; iar daca seria este divergenta.

Criteriul lui Raabe si Duhamel se aplica, in general, in cazul in care criteriul D'Alembert nu duce la nici un rezultat.

4) Numarul e

Numarul e este definit fie ca suma a seriei:

1+ (1)

fie ca limita sirului

(2)

Sa consideram mai intai numarul e definit ca suma seriei (1). Seria (1) este convergenta deoarece, dupa criteriul raportului,

Daca notam:

si

rezulta ca . Sa gasim o limita superioaraa erorii pe care o facem asupra lui e oprindu-ne la primii termeni; observam ca:

deci

sau r cu

Pentru avem ; deci, rezulta ca: .

Exemplu: calculul lui e cu 15 zecimale exacte. Pentru aceasta trebuie sa calculam suma a 17 termeni:

(calculand toate rapoartele obtinute)

e

5. Calculul sumei seriilor convergente

5.1. Serii absolut convergente

Teorema: daca intr-o serie absolut convergenta se schimba ordinea termenilor, se obtine tot o serie absolut convergenta si cu aceasi suma.

Demonstratie: fie seria absolut convergenta

Pentru exista un numar astfel incat pentru orice avem:

deci , oricare ar fi p, q naturali.

Putem alege numarul N astfel incat sa avem si .

Sa presupunem acum ca am schimbat ordinea termenilor intr-un mod oarecare. Fie noua serie astfel obtinuta:

Exista un numar , astfel incat pentru toti termenii cuprinsi in sa fie cuprinsi si in unde fiind sumele partiale ale seriei . Evident, suma contine si alti termini decat cei continuti de , insa toti vor fi de rang superior lui N, fie ei U; avem:

si din egalitatea evidenta:

avem si

,

deci si au aceasi limita s.

Teorema este valabila si pentru seriile cu termini pozitivi care sunt absolute convergente.

5.2. Aproximarea sumei unei serii cu termini pozitivi

Unei serii cu termeni pozitivi

convergenta nu ii putem gasi totdeauna suma, ci ne multumim de multe ori cu o valoare aproximativa , ce se obtine insumand un numar p de termeni ai seriei, deci .

Pentru a gasi o margine superioara a erorii pe care o facem asupra sumei s inlocuind-o cu , trebuie sa gasim o margine superioara a restului . Aceasta margine superioara se obtine inlocuind seria care reprezinta pe cu o serie majoranta, a carei suma se poate calcula usor.

Sa presupunem ca seria data indeplineste conditia , incepand de la un rang ; avem

,

deci si am gasit astfel o majoranta a restului seriei. Daca si cerem ca , din conditia putem determina numarul p.