Curs mecanica: vectori

UNIVERSITATEA 'ANDREI SAGUNA' CONSTANTA

FACULTATEA DE NAVIGATIE SI TRANSPORT MARITIM SI FLUVIAL

SPECIALIZAREA NAVIGATIE SI TRANSPORT MARITIM SI FLUVIAL

CENTRUL TERITORIAL TULCEA

AN UNIVERSITAR

CURS MECANICA

CAPITOLUL 1 VECTORI

1.1. MARIMI FIZICE

Definitie: marimile fizice sunt proprietati fizice masurabile ale corpurilor.

Marimi fizice se clasifica in doua categorii: scalare si vectoriale.

SCALARII

Definitie: scalarii sunt marimile fizice caracterizate prin:

- modul (marime) (valoare absoluta);

- unitate de masura.

Exemple: m (kg), ρ (kg/m³), V (m³), t (s), S (m²), etc.

Observatie: scalarii sunt acele marimi fizice care NU ne dau libertatea de a le modifica noi

valoarea, deci joaca rolul unor marimi constante la un moment dat sau permanent.

VECTORII

Definitie: vectorii sunt marimile fizice caracterizate prin:

fig. 1

Exemple: (m); Δ (m); (m/s); (m/s²); (N); (N s ); (T); (V/m); etc.

Observatie: vectorii sunt acele marimi fizice care ne dau libertatea de a le modifica noi valoarea, directia si sensul pentru a rezolva o situatie impusa teoretic sau practic.

1.2. OPERATII CU VECTORI

1.2.1. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR AFLAT INTR-UN PLAN

fig. 2

1.2.2. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR AFLAT IN SPATIUL TRIDIMENSIONAL

fig. 3

= a _x + a _y + a_z

(vectori unitate)

, si sunt versorii axelor de coordonate Ox, Oy si respectiv Oz.

a² = a _xz² + a _y²

cu a_xz² = a_x² + a_z²

a =

tg α = α = arctg

1.2.3. ADUNAREA (COMPUNEREA) VECTORILOR

Pentru a aduna doi vectori si putem aplica regula paralelogramului.

fig. 4

Pentru a aduna vectorii este mult mai convenabil sa folosim metoda analitica

= + (ecuatia vectoriala)

Urmarind proiectiile vectorilor pe axa Ox obtinem:

= + sau r _x = a _x + b _x

Urmarind proiectiile vectorilor pe axa Oy obtinem:

= + sau r _y = a _y + b_y

Deci: = r _x + r _y

= ( a _x + b _x) + ( a _y + b_y)

fig. 5

Demonstratie:

unde:

a _x = a cos α₁

a _y = a sin α₁

b _x = b cos α₂

b _y = b sin α₂

deci:

r ² = r _x² + r _y²   

r = r =

(marimea vectorului suma (vectorului rezultant)).

(α este unghiul dintre cei doi vectori)

Este cunoscut faptul ca vectorul suma se poate calcula si folosind teorema lui Pitagora generalizata.

Orientarea in spatiu a vectorului suma este data de:

tg β =

tg β =

tg β =

β = arctg

Caz particular

α = 0⁰ (vectori coliniari si de acelasi sens)

fig. 6

Vectorii coliniari si de acelasi sens se aduna si se da sensul comun.

Demonstratie

r² = a² + b² + 2 a b cos 0⁰

r² = a² + b² + 2 a b   

r² = (a + b)²

r = a + b (ecuatie scalara)

Concluzie:

r = a + b

pentru    α = 0⁰ avem unicul caz in care adunarea vectoriala coincide cu adunarea scalara.

1.2.4. SCADEREA VECTORILOR

Consideram doi vectori si , dorim sa determinam caracteristicile vectorului diferenta :

= + ()

(transformam scaderea in adunare: adunam un vector cu opusul celuilalt vector)

fig. 7

Se observa ca putem aplica direct regula triunghiului

fig. 8

Putem apela si la metoda analitica

(ecuatia vectoriala)

Urmarind proiectiile vectorilor pe axa Ox se observa ca:

sau d _x = a _x - b _x

Urmarind proiectiile vectorilor pe axa Oy se observa ca:

sau d _y = a _y - b _y ( are sensul in jos)

Demonstratie:

unde:

a _x = a cos α₁

a _y = a sin α₁

b _x = b cos α₂

b _y = b sin α₂

fig. 9   

deci:

d² = d _x² + d _y²

d² = ( a _x - b _x)² + ( a _y - b _y)²   

d² = a _x² - 2 a _x b _x + b_x² + a _y² - 2 a _y b _y + b _y²

d² = a² + b² - 2 ( a _x b _x + a _y b _y)

d² = a² + b² - 2 (a cos α₁ b cos α₂ + a sin α₁b cos α₂)

d² = a² + b² - 2 a b cos (α₁ - α₂)

d = a² + b² - 2 a b cos α

(marimea vectorului diferenta)

unde α = α₂ - α₁ (α este unghiul dintre cei doi vectori)

Este cunoscut faptul ca vectorul diferenta se poate calcula si folosind teorema lui Pitagora generalizata.

Orientarea in spatiu a vectorului diferenta este data de:

tg β =

tg β =

tg β =

β = arctg

Caz particular:

α = 180⁰ (vectori coliniari si de sens opus)

fig. 10

Vectorii coliniari si de sens opus se scad si se da sensul celui mai mare.

Demonstratie

d² = a² + b² + 2 a b cos 180⁰

d² = a² + b² + 2 a b (-1)

d² = a² + b² - 2ab

d² = (a - b)²

d = (ecuatie scalara)

Concluzie

d =

pentru α = 180⁰ avem unicul caz in care scaderea vectoriala coincide cu scaderea scalara.

1.2.5. INMULTIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR

Se iau vectorul si un scalar m Є R .

fig. 11

1.2.6. IMPARTIREA UNUI VECTOR LA UN SCALAR

Se iau vectorul si un scalar m Є R

fig. 12

1.2.7. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Consideram doi vectori si :

Definitie:

Analizand definitia matematica se observa ca:

(modulul vectorului este partea scalara a vectorului )

(modulul vectorului este partea scalara a vectorului )

cos (- α) = cos α (cos α este unica functie trigonometrica para).

Paritatea functiei trigonometrice cos α este cea care ne conduce la faptul ca rezultatul inmultirii scalare a doi vectori este un scalar.

c este o marime fizica scalara.

Prezenta functiei trigonometrice cos α intr-o ecuatie fizico-matematica ne obliga intotdeauna sa facem o proiectie a unui vector pe directia celuilalt vector.

fig. 13

Exemple:

L = = F d cos α = F _x d

Efectueaza intotdeauna un lucru mecanic acea proiectie a fortei pe directia dorita de miscare.

Δ E _c = L

Δ E _p = - L

Lucrul mecanic si energia sunt marimi fizice scalare.

Demonstratie:

Folosim reprezentarea grafica din fig. 9.

unde:

a _x = a cos α₁

a _y = a sin α₁

b _x = b cos α₂

b _y = b sin α₂

= cos 0⁰ = 1

= cos 0⁰ = 1

= cos 90⁰ = 0

= cos 90⁰ = 0

= = a _x b _x + a _y b _y =

= a cos α₁b cos α₂ + a sin α₁ b sin α₂ = a b (cos α₁ cos α₂ + sin α₁ sinα₂) = a b cos (α₁- α₂) =

= a b cos α

Deci:

unde α = α₂ - α₁ (α este unghiul dintre cei doi vectori).

1.2.8. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

Consideram doi vectori si :

Definitie

Analizand definitia matematica se observa ca:

(modulul vectorului este partea scalara a vectorului )

(modulul vectorului este partea scalara a vectorului )

sin (- α) = - sin α (sin α este o functie trigonometrica impara

Imparitatea functiei trigonometrice sin α este cea care ne conduce la faptul ca rezultatul inmultirii vectoriale a doi vectori este un vector.

Observatie: intalnim in fizica produse vectoriale doar cand intervin miscari de rotatie a unui corp fie in jurul unui punct, fie in jurul unei axe.

Exemple:

este momentul fortei, marime fizica care ne ajuta sa descriem miscarea de rotatie cu caracter temporar a unui corp fie in jurul unui punct (pol), fie in jurul unei axe.

este momentul cinetic, marime fizica care ne ajuta sa descriem miscarea de rotatie cu caracter permanent a unui corp fie in jurul unui punct, fie in jurul unei axe.

(Exemple: miscarea planetelor in jurul Soarelui, miscarea satelitilor naturali in jurul unei planete, miscarea electronilor in jurul nucleului, etc.)

Demonstratie:

Folosim reprezentarea grafica din fig. 9.

(versori coliniari)

(versori perpendiculari)

a_x b_y + a_y b_x =

= a cosα₁ bsinα₂ + a sinα₁ bcosα₂ = a b (cosα₁sinα₂ + sinα₁cosα₂) = a b sin (α₁-α₂) =

= a b sin α.

Deci:

fig. 14

, sau au urmatoarele caracteristici:

- au originea chiar in punctul de rotatie;

- au directia perpendiculara pe planul de rotatie (directia perpendiculara este impusa de

practica, este directia dupa care obtinem maximum de rotatie cu minimum de efort);

- au marimea egala cu aria paralelogramului format de cei doi vectori

- au sensul dat de regula mainii drepte: luam axa de rotatie in mana dreapta si rotim primul

vector peste al doilea pe drumul cel mai scurt; degetul mare al mainii drepte ne da sensul

vectorului .

fig. 15