Principiile si teoremele mecanicii clasice

MODELAREA MATEMATICA A MARIMILOR MECANICE DERIVATE (A OBSERVABILELOR MECANICE DERIVATE).

PRINCIPIILE SI TEOREMELE MECANICII CLASICE

Discutie:

Odata construit modelul matematic – geometric si analitic – al miscarii (mecanice), ne propunem sa vedem care sunt carcteristicile derivate ale acesteia, care sunt modelele matematice ale marimilor mecanice masurabile si de interes (se pot masura sau deduce din cele masurabile direct), numite observabile. Acestea sunt relevate direct de experienta. Prin urmare va trebui sa le d 252b18c efinim in modul in care ni le releva experimentele asupra clasei de fenomene mecanice – in limbaj uzual – dupa care sa le matematizam, conform modelului matematic construit pana acum (sa le integram acestui model).

Tot experienta ne releva si o parte dintre relatiile ce exista intre observabilele astfel construite, primare sau derivate (principiile mecanicii); cealalta parte le vom deduce din acestea, constituind asa- numitele teoreme ale macanicii.

Experienta arata ca observabilele miscarii mecanice a sistemelor mecanice (corpurilor) sunt viteza, acceleratia, impulsul, momentul cinetic si energia (cinetica, potentiala, totala); acestea vor fi definite in continuare pentru fiecare tip de sistem mecanic modelat matematic anterior:

1. Observabilele mecanice derivate ale punctului material. Principiile si teoremele mecanicii clasice a punctului material

1.1. Traiectorie. Viteza. Acceleratie

In miscarea sa prin spatiu, punctul material va trece succesiv prin diverse pozitii. Modelul matematico-geometric al sau fiind punctul geometric din spatiul E₃, rezulta imediat ca modelul matematico-geometric al miscarii va fi o curba in spatiul E₃ descrisa prin deplasarea corespondenta a punctului material, numita traiectorie. Prin urmare:

Def.: traiectoria = locul geometric al punctelor corespondente prin care trece punctul material in deplasarea sa prin spatiul E₃.

Discutie:

Simturile noastre ne conduc la doua conditii puse, deocamdata, traiectoriei, grupate in asa numitul principiul perfectei localizari din mecanica clasica:

traiectoria este o curba continua (experienta de zi cu zi ne arata ca, in decursul miscarii lor, corpurile macroscopice nu “dispar” pentru a aparea ulterior intr-o pozitie situata la o distanta finita, reala);

traiectoria este o curba precis determinata (tot simturile noastre ne arata ca in lumea inconjuratoare pozitia oricarui corp macroscopic poate fi determinata in orice moment cu precizie – data de instrumentele de masura).

Fig. 24

De remarcat faptul deosebit de important ca acest principiu este valabil numai in mecanica clasica, adica numai in realitatea inconjuratoare, cea relevata direct de simturile noastre. De indata ce iesim din aceasta realitate imediata, experienta relevata de diverse dispozitive ce ne “prelungesc” intrucatva simturile, ne arata ca acest principiu nu se mai respecta in nici unul din cele doua aspecte. Astfel, experiente numeroase asupra microcosmosului releva faptul ca “obiectele” din aceasta lume (ce or fi ele!) nu pot fi localizate cu precizie; ele se pot gasi intr-o anumita zona din spatiu a carei dimensiune nu depinde de imprecizia dispozitivelor de masura. Probabilitatea de a gasi “particula” intr-o astfel de regiune este o caracteristica intrinseca a oricarei microparticule. De asemene este posibila disparitia particulelor, la un moment dat, fenomen numit dezintegrare si, invers, aparitia spontana a unor particule, proces numit generare de particule.

- acceleratia = reprezinta variatia vitezei in unitatea de timp.

Discutie:

Matematizarea acestor notiuni este simpla; conform modelului matematic al miscarii mecanice a punctului material corespunzator obiectului studiat, avem, cu notatii cunoscute: (fig. 25). Experienta ne arata insa ca exista miscari mecanice complicate, in care atat viteza, cat si acceleratia variaza, practic, in continuu. In aceasta situatie, definitiile acestea devin mediile unor definitii „instantanee”, in cadrul carora intervalul de timp trebuie facut foarte mic. Modelul matematic al acestei cerinte il constituie notiunea de limita si, ulterior de derivata, introduse odata cu matematizarea fenomenelor mecanice chiar de catre Newton.

Discutii:

1. Conform interpretarii geometrice a derivatei, viteza va fi tangenta la traiectorie in punctul P unde se afla punctul material in momentul cand este calculata.

2. Modulul vitezei se poate scrie si in modul urmator, conform consideratiilor de la elementul de arc:

- hodograful vitezei curba descrisa de varful vectorului viteza, in conditiile mentinerii fixe a originii acestuia.

1.2. Principiile mecanicii clasice (newtoniene) a punctului material

Nota: principiu (axioma) = o legitate (regula) intrinseca a naturii, de nedemonstrat in contextul cunostintelor actuale, relevata prin experiente repetate.

Discutie:

Este posibil ca dezvoltarea ulterioara, a stiintei, noi experiente, sa mareasca universul cunoasterii clasei de fenomene respective, astfel incat un principiu actual sa devina o teorema viitoare, demonstrat pe baza altor principii relevate, mai generale. De exemplu, Coulomb a postulat “legea” sa; cercetarea ulterioara a fenomenelor electrice si magnetice a condus la principiile (ecuatiile) Maxwell, “principiul” Coulomb devenind o consecinta a acestora (cazul a doua particule incarcate electric si aflate in repaus), adica o lege.