Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza















Evaluarea investitiilor prin metoda optiunilor reale

Marketing



loading...








ALTE DOCUMENTE

CREATIVITATEA IN PUBLICITATE
Consumatori vulnerabili
Plan-de-afaceri
Marketingul
PUBLICITATE & PROMOVARE
PROCEDURA PRIVIND RECRUTAREA, SELECTIA SI ANGAJAREA PERSONALULUI
Abordarea cardinala a utilitatii si echilibrul consumatorului
TEHNICI PROMOTIONALE
Relatia pret-calitate. Pretul de acceptabilitate


I. Introducere

Optiunile reale sunt optiuni de cumparare, vanzare sau schimb de active reale in termenii cei mai favorabili afacerii. Factorul de decizie isi asuma dreptul, nu si obligatia, de a le exercita pe un interval de timp prestabilit.

Majoritatea firmelor nu folosesc in mod explicit conceptul de optiuni reale sau de evaluare cu ajutorul acestora in cadrul deciziilor lor de investitii, desi folosesc tehnicile respective : amanarea deciziei pentru a se reusi strangerea mai multor informatii relevante sau definirea mai buna a cadrului general de implementare, adaptarea proiectului la noi informatii aparute, extinderea sau chiar abandonarea proiectului de investitii in conditiile in care se intrevede posibilitatea obtinerii de pierderi. "Informatia in afacere" implica folosirea cunostintelor pentru a spori eficienta si calificarea activitatilor care implica transformarea scopului fizic astfel incat sa se adauge valoarea si sa se mentina sau sa se creasca pozitia unei firme pe piata sau nivelul rentabilitatii.

Notiunea de flexibilitate manageriala, concept specific optiunilor reale, este actualmente in majoritatea cazurilor inlocuita cu succes de intuitie si decizie executiva, bazata pe experienta. Prin strategiile pe care le pregateste, insa, prin arborii de decizie folositi pentru analiza situatiei viitoare a firmei intr-un mediu dinamic si incert, managementul are la dispozitie prin intermediul flexibilitatii manageriale diverse posibilitati de actiune, isi poate exercita multiple optiuni in vederea evitarii realizarii scenariilor pesimiste de evolutie a firmei si beneficierii de pe urma oportunitatilor viitoare. Astfel, aplicatiile optiunilor reale au ajutat la intregirea golului dintre finante si strategie.

 Scopul prezentei lucrari este de a prezenta conceptul de optiuni reale si de a aplica un model de evaluare a optiunilor reale pe un caz concret din economia romaneasca : o firma care doreste patrunderea pe piata cu un nou produs prin implementarea unei noi tehnologii. Se doreste stabilirea unei concluzii legate de oportunitatea investitiei si de felul in care poate duce ea la dezvoltare ulterioara si la cresterea profiturilor firmei pe termen lung.

II. Teoria generala a optiunilor

2.1. Concepte de baza

Optiunea reprezinta o întelegere între cel care o detine (cumparator) si cel care o emite (vânzator), prin care detinatorul are dreptul dar nu si obligatia de a cumpara sau a vinde un instrument financiar la un pret prestabilit, oricând doreste, în cadrul unei perioade de timp determinate.

Payoff-ul (castigul) optiunii depinde de pretul activului suport la scadenta. Daca pretul activului suport este mai mare decât pretul de exercitiu (optiune call) sau mai mic decât pretul de exercitiu (optiune put), atunci se exercita optiunea. In caz contrar optiunea nu se exercita.

Pentru dobândirea acestui drept, cumparatorul plateste o prima (ce reprezinta pretul optiunii) vânzatorului. Daca cumparatorul se decide sa-si exercite dreptul de a cumpara sau de a vinde activul, atunci vânzatorul optiunii are obligatia de a livra sau de a accepta livrarea activului respectiv la pretul de exercitare, indiferent de pretul curent al activului. De aceea pierderea potentiala pentru un vânzator de optiune este nelimitata; în contrast cu aceasta, daca cumparatorul se decide sa nu-si exercite dreptul, lasând optiunea sa expire, pierderea lui este limitata la prima platita.

Dupa dreptul acordat, optiunile sunt de doua tipuri: call si put. O optiune call acorda cumparatorului, deci celui care plateste prima, dreptul de a cumpara activul de baza. În optiune se specifica pretul de exercitare la care activul poate fi cumparat la scadenta optiunii sau înaintea acesteia. O optiune put acorda cumparatorului dreptul de a vinde activul de baza, la scadenta optiunii, sau înaintea acesteia, la un pret de exercitare specificat.

In fiecare contract de optiune exista doua parti: una care vinde (detinand o pozitie short) si alta care cumpara (pozitie long). De aceea avem patru posibile pozitii: pozitie lunga pe o optiune call (cumparare de call), pozitie scurta pe optiune call (vânzare de call), pozitie lunga pe o optiune put (cumparare de put), pozitie scurta pe optiune put (vânzare de put).

  

Payoff-urile optiunilor europene;

Duplicarea optiunii

Evaluarea optiunilor se bazeaza pe construirea unui portofoliu care are acelasi payoff cu optiunea. Optiunea împreuna cu portofoliul analog creeaza o pozitie de hedging. Astfel, cineva care detine atât optiunea cat si portofoliul analog câstiga rata dobânzii fara risc. Conditia este ca piata sa nu admita operatii de arbitra 22522e48w j, deci doua instrumente care se comporta identic trebuie sa aduca acelasi castig.

Valoarea incertitudinii

Cu cât este mai mare incertitudinea privind pretul activului suport la scadenta, cu atât este mai mare valoarea optiunii. Acest lucru se explica astfel: cu cat este mai mare volatilitatea activului suport, cu atât creste probabilitatea ca la scadenta pretul sau sa fie mai mare, deci si payoff-ul sa fie mai mare; payoff-ul minim este 0, indiferent de volatilitatea activului suport. Valoarea curenta a unei optiuni este întotdeauna mai mare sau egala cu payoff-ul sau.


Valoarea curenta a unei optiuni call;

Arbitraj financiar

Una din ipotezele teoriei optiunilor este faptul ca piata nu admite operatii de arbitra 22522e48w j, ceea ce înseamna ca instrumente financiare care au aceeasi rentabilitate si acelasi risc trebuie sa aiba acelasi pret. In caz contrar s-ar putea obtine castig fara ca cineva sa-si asume vreun risc sau sa investeasca capital.

2.1.1. Elementele componente ale contractelor cu optiuni

·                    Activul suport: functie de care exista optiuni pe actiuni, pe indici bursieri, pe rate de dobânda, pe cursuri de schimb, pe futures, pe optiuni;

·                    Scadenta T - este ultima zi în care optiunea poate fi exercitata . De obicei este mai mica sau egala cu un an, dar exista si optiuni care se maturizeaza în câtiva ani de la cumparare. Scadentele optiunilor pe actiuni sunt fixate de obicei pentru sfârsitul trimestrelor anului calendaristic: martie, iunie, septembrie, decembrie. Fiecare optiune este cotata la urmatoarele trei scadente. Spre exemplu, daca se cumpara în februarie se va cota în martie, iunie si septembrie.

Din punct de vedere al momentului în care se pot exercita, optiunile se împart în:

-                                             optiuni americane - care dau dreptul detinatorului de a-si exercita dreptul de cumparare sau de vânzare a activului suport oricând înainte de scadenta;

-                                             optiuni europene - ce nu pot fi exercitate decât la scadenta.

Având în vedere cele mentionate putem spune ca o optiune americana trebuie sa fie mai valoroasa decât una europeana. În unele situatii este bine ca optiunile americane sa nu fie exercitate pâna la scadenta. În aceste situatii, optiunea americana valoreaza ât o optiune europeana. În general optiunile europene sunt mai simple si mai usor de analizat, însa, în prezent, se tranzactioneaza mai mult optiuni americane. Nu trebuie sa fie asociata denumirea optiunii (americana sau europeana) cu localizarea geografica, ea se refera numai la momentul la care detinatorul poate exercita optiunea.

·                                                                    Pretul de exercitare K (exercise price, striking price) - reprezinta pretul predeterminat al activului suport. El va fi platit de cumparatorul activului suport numai daca cumparatorul optiunii decide sa execute contractul. În cazul optiunilor clasice, pretul de exercitare este fix, nemodificabil pe durata de viata a contractului, în timp ce în cazul optiunilor exotice sau asiatice pretul de exercitare este variabil pe durata de viata a contractului.

·                                                                    Pretul optiunii se numeste prima (option premium) si reprezinta pretul platit pentru cumpararea optiunii. Nivelul primei coteaza la bursa, fiind determinat de raportul  dintre cererea si oferta pentru acelasi tip de contract, pe acelasi activ si la aceeasi scadenta. Marimea primei trebuie astfel dimensionata încât sa justifice asumarea riscului de catre vânzator si astfel încât cumparatorul sa fie dispus sa o plateasca în schimbul avantajului pe care îl obtine din contract. Prima se plateste la încheierea contractului de optiuni.

Prima este de obicei platita la început, din momentul cumpararii contractului, ilustrând faptul ca riscul a fost deja asumat de catre vânzator. Plata primei se poate face în anumite cazuri si la expirarea optiunii. În aceasta situatie se acorda un credit cumparatorului optiunii si de aceea în momentul platii vânzatorul va încasa pe lânga prima, si dobânda aferenta acesteia. Acest tip de optiuni se numesc optiuni de tip Boston.

În cazul contractelor de tip call - care ofera dreptul de a cumpara o suma în valuta - prima se adauga la pretul de exercitiu, obtinându-se punctul mort - "break even point", de la care pornind se obtine un profit din exercitare. În cazul contractelor de tip put prima se scade din pretul de exercitiu  si se obtine punctul mort. Pornind de la acesta în jos cumparatorul optiunii poate obtine un profit exercitând.

În cazul unui contract de tip call punctul mort se calculeaza astfel:

PM = K + p

În cazul unui contract de tip put, punctul mort se calculeaza astfel:

PM = K - p

                         

Unde,                    PM - punctul mort

                          K - pretul de exercitiu

                          p - prima contractului

Teoretic prima se calculeaza prin însumarea a doua elemente importante: valoarea intrinseca si valoarea timp.

C sau P = VI + VT

Valoarea intrinseca (VI)  reprezinta suma pe care o poti realiza daca ai cumpara si exercita imediat optiunea. Altfel spus, valoarea intrinseca reflecta relatia dintre pretul de exercitare al optiunii si pretul activului suport St si se exprima astfel:

VI (call) = max [(St - K), 0]

VI (put) = max [(K - St), 0]

unde, S-cursul spot si K-pretul de exercitiu

Faptul ca valoarea intrinseca poate lua valoarea 0 înseamna ca pierderea cumparatorului unei optiuni este limitata la suma înaintata initial sub forma de prima. Daca e mai favorabil sa se efectueze schimbul la cursul spot decât la cel de exercitiu se abandoneaza contractul.

Un alt mod de a descrie o optiune care are valoare intrinseca este sa spui ca optiunea este:

-               în bani (in the money), când optiunea este profitabila la scadenta, astfel:

pentru call St > K

pentru put St < K

-               la bani (at the money), atunci când, atât pentru call cât si pentru put St = K;

-               în afara banilor (out of the money) când optiunea nu este profitabila la scadenta:

pentru call St < K

pentru put St > K

Se mai poate spune ca optiunile call sau put sunt adânc în bani (deep in the money) sau mult în afara banilor (deep out of the money) atunci când diferentele între pretul de exercitare si pretul activului suport sunt foarte mari.

Valoarea timp (VT), numita si valoarea extrinseca, reflecta suma de bani pe care ti-ai dori sa o platesti în speranta ca o optiune va aduce profit la scadenta sau înainte de scadenta. Cu alte cuvinte, chiar si optiunile în afara banilor au un pret, pentru ca ele pot ajunge în bani la un moment dat, în timpul vietii lor. Valoarea timp a unei optiuni scade pe masura ce scadenta se apropie, iar la scadenta valoarea timp va disparea. Orice prima ramasa va consta în întregime din valoarea intrinseca. Pentru o optiune care este "out of the money" valoarea primei este data în totalitate de valoarea extrinseca.

2.1.2.   Factorii care influenteaza pretul optiunilor

·        cursul activului suport

Valoarea optiunii call creste pe masura cresterii cursului activului suport, în timp ce valoarea optiunii put creste odata cu scaderea cursului activului suport;

·        pretul de exercitare si scadenta

Optiunile call devin mai valoroase cu cat pretul de exercitiu este mai mic, deoarece detinatorul va putea obtine un câstig mai mare prin exercitarea optiunii. Din acelasi motiv, optiunile put devin mai valoroase odata cu cresterea pretului de exercitiu. În ceea ce priveste scadenta, toate optiunile americane se apreciaza valoric odata cu cresterea timpului pâna la scadenta. Deci, cu cât scadenta e mai îndelungata, cu cât valoarea optiunii este mai mare.

Pe masura ce scadenta se apropie, valoarea timp a optiunilor scade din ce în ce mai rapid. Pentru optiunile adânc "în bani" si mult în "afara banilor", valoarea timp scade liniar pe durata de viata.


Pentru optiunile "la bani" prima scade usor liniar pâna cu 10 zile înainte de scadenta. În ultimele zece zile prima scade vertiginos.

            Pentru optiunea "în afara banilor" descompunerea timpului este liniara (în fiecare zi prima optiunii pierde putin din valoarea timp).


                                                                            

           

Pentru optiunea "în bani" descompunerea timpului este tot liniara. La scadenta optiunii marimea primei va fi egala cu valoarea intrinseca a optiunii.


                                                                                

În ceea ce priveste pretul de exercitiu, cu cât acesta este mai mare, cu atât prima pentru optiunea call este mai mica si cea pentru optiunea put mai mare.

                                                                           

    

                                                                                  

                                                                                        

·        Volatilitatea activului suport

Masoara probabilitatea de modificare a pretului activului suport, indiferent de sens, într-o perioada data de timp.Aceasta însa nu poate fi observata direct, dar poate fi estimata pe baza unor date istorice. Volatilitatea tipica pentru cursul unui activ este de 0,3 sau 30% pe an. Daca volatilitatea creste, probabilitatea ca situatia activului sa fie foarte buna sau foarte proasta creste de asemenea. Detinatorul unei optiuni call obtine profit daca cursul activului creste, dar are un risc limitat în situatia în care pretul acestuia scade. Similar, detinatorul unei optiuni put obtine profit daca cursul activului suport scade si are un risc limitat în cazul unei evolutii contrare. Valoarea optiunilor put si call creste deci odata cu cresterea volatilitatii.


                                              

·        Rata dobânzii fara risc (r)

Afecteaza cursul optiunilor într-un mod mai putin evident. În ipoteza unui univers neutru la risc, cresterea acesteia determina majorarea ratei de crestere a cursului activului siport. Rezulta astfel ca evolutia cursului optiunii put este inversa fata de cea a retei dobânzii fara risc. Cursul optiunii call evolueaza însa proportional cu rata dobânzii fara risc.


                                                           

                                                                                  

           

                       

·              Dividendele

Au ca efect reducerea cursului actiunilor în perioada ex-dividend. Aceasta influenteaza negativ cursul optiunii call, dar are o influenta favorabila asupra cursului optiunii put. Valoarea optiunii call este, deci, negativ corelata cu cea a dividendelor anticipate, în timp ce valoarea optiunii put este pozitiv corelata cu aceasta.

Cresterea marimii factorilor de influenta

Incidenta cresterii factorilor asupra primei optiunii

CALL                                         PUT

1. cursul activului suport (­)

    ­

    Ż

2. pretul de exercitiu (­)

Ż

­

3. scadenta (­)

­

­

4.volatilitatea cursului (­)

­

­

5. rata dobanzii pe termen scurt (­)

­

Ż

2.1.3. Avantajele optiunilor

Optiunile ofera câteva avantaje incontestabile fata de alte instrumente bursiere si extrabursiere:

·                    Sunt flexibile: indiferent de evolutia preturilor - cresterea preturilor, scaderea preturilor sau chiar preturi stabile - optiunile ajuta la realizarea obiectivelor de tranzactionare si la un bun management al riscurilor;

·                    Sunt multifunctionale  chiar daca un client nu si-a format o opinie privind evolutia pietei, el poate profita de modificarea volatilitatii pietei, de trecerea timpului pâna la scadenta ori de schimbarea altor elemente specifice optiunilor;

·                    Pot fi obtinute câtiguri nelimitate prin asumarea de riscuri limitate:  pentru cumparatorul unei optiuni, expunerea sa va fi limitata la pretul platit pentru acea optiune. În acelasi timp, profitul potential este virtual nelimitat;

·                    Sunt standardizate:  regulile specifice unei burse ofera un grad mare de siguranta care nu se regaseste pe nici un alt tip de piata. Prin standardizarea optiunilor se elimina riscul de neplata al contrapartii.

2.2. Modele de evaluare a optiunilor

            Modelele de evaluare a optiunilor pleaca de la urmatoarele premise:

·                          Nu exista taxe si costuri de tranzactionare ;

·                          Nu exista restrictii cu privire la operatiunile de short-selling ;

·                          Toate titlurile sunt perfect divizibile;

·                          Nu exista restrictii cu privire la obtinerea sau acordarea de credite; dobânda este aceeasi pentru cele doua operatii;

·                          Rata dobânzii fara risc este constanta pe toata durata de viata a optiunii ;

·                          Pe perioada de viata a optiunii activul suport nu genereaza venit (se poate renunta la aceasta ipoteza facând anumite ajustari);

·                          Pretul activului suport descrie o lege log-normala

·                          Volatilitatea activului suport este considerata constanta pe toata durata de viata a optiunii .

2.2.1. Modelul Black-Scholes

Pentru deducerea ecuatiei de dinamica a unui derivativ se  construieste un portofoliu fara risc format dintr-o  pozitie long pe  derivativul respectiv si o pozitie short pe o anumita cantitate din activul suport. Cantitatea din activul suport se deduce punând conditia ca portofoliul sa fie neutru la risc.

In ipoteza ca piata nu admite operatii de arbitra 22522e48w j, rentabilitatea portofoliului va trebui sa fie aceeasi cu rentabilitatea fara risc. Astfel putem calcula pretul optiunii fara  a lua în considerare preferinta pentru risc a investitorului.

Pentru a putea deduce pretul unei optiunii avem nevoie de urmatoarele date: valoarea curenta a activului suport pe piata (S), timpul pana la maturitate (T), pretul de exercitiu (X), volatilitatea activului suport (s), rata dobânzii fara risc (r), rata dividendului (q).

Black si Scholes au gasit o ecuatie cu derivate partiale ce trebuie satisfacuta de orice derivativ. In functie de conditiile finale specificate se pot calcula formule pentru diverse variabile. Cea mai simpla este aceea pentru o optiune europeana ex-dividend.

Facem urmatoarele notatii:

c = Pretul optiunii call

p = Pretul optiunii put

S = Pretul curent al activului suport

X = Pretul de exercitiu

r = Rata dobânzii fara risc

σ = Volatilitatea activului suport

µ = Rentabilitatea asteptata a activului suport

T = Timpul pana la scadenta

N(x) = Probabilitatea cumulata pentru distributia normala standard.

Punând conditia ca la scadenta: C(T,S)=max(S-E,0) vom obtine:

C(t,S)=S*N(d1)-E*e-r(T-t)*N(d2)

P(t,S)=E*e-r(T-t)*N(-d2)-S*N(-d1)

Cu

2.2.2.      Simularea Monte Carlo

Implica generarea unui numar mare de valori ale procesului aleator pe care-l urmeaza activul suport, determinarea pretului optiunii pentru fiecare din  aceste valori si calculul pretului mediu.

            Simularea reprezinta o metoda analitica proiectata sa imite o situatie reala, atunci când alte metode de analiza sunt mult prea complexe din punct de vedere matematic sau mult prea dificile de reprodus. Denumirea vine de la orasul Monte Carlo din Monaco, unde atractia principala o reprezinta cazinourile. Comportamentul aleator al jocurilor de noroc este similar cu modul în care metoda MC selecteaza valori aleatoare pentru a simula un model. Pentru fiecare variabila se va defini un set/interval de valori posibile si  o lege de repartitie. Tipul distributiei depinde de caracteristicile variabilei respective.

Pasii metodei Monte Carlo:

1.                                             Modelarea proiectului, stabilirea sistemului de ecuatii pentru variabilele primare, descrierea interdependentelor în timp între acestea ;

2.                                             Stabilirea distributiei fiecarei variabile în parte, fie subiectiv fie pe baza datelor istorice; Aceasta etapa ar trebui precedata de o analiza de senzitivitate pentru a se stabili care sunt variabilele cu influenta cea mai mare pentru indicatorii calculati, iar acestora li sa va studia mai atent legea de repartitie.

3.                                             Se genereaza un set de numere aleatoare tinând cont de legea de repartitie a fiecarei variabile si  de intervalele în care se încadreaza aceasta; pe baza valorilor generate se vor calcula anumiti indicatori.

4.                                             Procesul de la pasul 3 se reia de mai multe ori (pana când se obtin 500-1000 de valori pentru indicatorii urmariti) astfel încât în final sa se poata deduce legea de repartitie a indicatorilor, media, dispersia si alti indicatori statistici.

2.2.3.      Metoda arborilor binomiali/trinomiali

Considera procesul stocastic discret, activul suport putând lua un numar finit de valori, fiecare cu o anumita probabilitate.

Ipoteze:

·                    Se porneste de la ipoteza ca pretul contractului futures urmeaza un model binomial multiplicativ, perioada de timp fiind împartita în intervale scurte de timp. La momentul initial, cursul contractului futures se considera F0. Rata rentabilitatii contractului futures pe o perioada de timp poate avea doua posibilitati: fie sa creasca, cu probabilitatea q, fie sa scada, cu probabilitatea 1 - q.

·                    Se considera rata dobânzii constanta si egala cu rata fara risc r.

·                    Este permisa vânzarea scurta.

·                    Nu exista taxe, costuri de tranzactie, cerinte legate de contul de marja.

·                    Nu exista oportunitati de arbitraj.

Reprezentarea pretului contractului futures pe un interval împartit în doua perioade este:


u = factor de crestere; u > 1;

d = factor de scadere; d < 1;

]

Considerând f0 valoarea actuala a unei optiuni având scadenta peste o perioada, la sfârsitul perioadei vom avea:


Unde:      K - pretul de exercitiu al optiunii;

               fu - prima optiunii în varianta de crestere;

               fd - prima optiunii în varianta de scadere.

Fie un portofoliu format din D* S contracte futures si un short put astfel încât sa nu existe posibilitati de arbitraj. Rezultatul acestui portofoliu, indiferent de evolutia pretului activului suport, sa fie acelasi.

Vom calcula D astel încât portofoliul construit sa fie fara risc, adica rezultatul sa fie acelasi si la o crestere a pretului activului suport, si la o scadere a pretului acestuia.

La sfârsitul perioadei, în cazul unei cresteri a pretului contractului futures, valoarea portofoliului va fi: F0 * u * D - fu, iar în cazul unei scaderi F0 * d * D - fd.

F0 * u * D - fu = F0 * d * D - fd

 

 


D = ponderea din contractul futures astfel încât rezultatul sa fie acelasi la doua momente de timp diferite.

[F0 * u - F0] * D - fu

 
Ar trebui ca valoarea la momentul initial sa fie egala cu oricare dintre valorile la momentul final (fu, fd) actualizate cu rata dobânzii. Costul pentru formarea acestui portofoliu este egal cu zero. Valoarea portofoliului la sfârsitul perioadei este întotdeauna:

           

Valoarea actualizata a portofoliului este:

[(F0 * u - F0) * D - fu] * e-r Dt

 


Putem spune si ca valoarea prezenta a protofoliului este - f, unde f este valoarea actualizata a optiunii.

 - f = [(F0 * u - F0) * D - fu ]* e-r Dt

- f = [(F0 * u - F0) * - fu] * e-r Dt

- f = [F0 * (u - 1) * - fu] * e-r Dt

- f = [(u - 1) * - fu] * e-r Dt

f = [(1 - u) * + fu] * e-r Dt

f = [(* fu +  ] * e-r Dt

f = e-r Dt [p * fu * + (1 - p) * fd]

 

 

f = e-r Dt [p * fu * + (1 - p) * fd]

 


Pntru n = 1 (model binomial pe 1 perioada):

f = e-2r Dt [p2 * fuu  + 2 fud * p * (1 - p) +  (1 - p)2 * fdd]

 


Pentru n = 2:

Demonstram prin inductie ca pentru n=k perioade:

 


2.2.4.      Metoda diferentelor finite

Consta în aproximarea derivatelor partiale cu diferentele finite corespunzatoare, rezultând un sistem de ecuatii algebrice ce va fi rezolvat pornind de la conditiile initiale.

Variabilele independente din ecuatia Black-Scholes sunt timpul si  pretul activului suport. Când se rezolva ecuatia prin metoda arborilor(binomiali/trinomiali) se construieste o structura cunoscuta sub numele de arbore binomial/trinomial (dupa caz). Când folosim metoda diferentelor finite, structura ce se va forma pentru calculul valorii optiunii este cunoscuta sub numele de grid.

Valoarea optiunii va fi calculata pentru fiecare nod, pornind de la nodurile de la momentul T (la maturitate) si  mergând recursiv pana la momentul 0 (momentul prezent).

Tipul de aproximari folosit va afecta si  tipul schemei cu diferente finite.

Considerente generale

Pentru a examina eficacitatea schemei cu diferente finite trebuie studiate urmatoarele proprietati:

·Consistenta

Daca eroarea totala (Î1 +Î2)  tinde la 0 atunci când Dx si Dt tind la 0, atunci metoda este consistenta. Altfel spus, ecuatia cu diferente finite (EDF) este consistenta cu ecuatia cu derivate partiale (EDP)  daca diferenta intre EDF si  EDP tinde la zero pe masura ce Dx si  Dt tind la zero.

·Stabilitatea

Acest concept are în vedere sensibilitatea schemei numerice la erorile sau  perturbatiile ce apar datorita preciziei limitate a calculului electronic. In cazul de fata, metoda numerica este stabila daca pe masura ce Dx si  Dt se reduc, metoda produce un rezultat ce tinde catre o limita finita.

·Convergenta

Daca eroarea globala a solutiei tinde la zero la fel de repede ca Dxp+Dtp atunci spunem ca metoda este convergenta de ordinul p.

Modele de aproximare a derivatelor prin diferente finite

 

Metoda trapezului

 

            Se bazeaza pe presupunerea ca intre doua puncte vecine, N si N+1, functia variaza liniar.

            Scriind ecuatia dreptei ce trece prin punctele avem:

Derivând relatia de mai sus obtinem:

            Derivata de ordinul 2 se calculeaza astfel:

ó

 

Metoda parabolei                            y

                                                        N

                                        N-1                             N+1

                                               yn-1               yn                         yn+1

               

                                                                              Δx                    Δx                                                   x

                                           

Metoda parabolei se bazeaza pe presupunerea ca intre trei puncte consecutive, (N-1), N, (N+1), variatia functiei este parabolica. Ecuatia parabolei de gradul 2 care trece prin aceste puncte si pentru care axa este paralela cu Oy este:

,

Primele doua derivate sunt:

Daca presupunem ca N se gaseste pe axa Oy, adica xn-1 =-Dx, xn=0, xn+1=+Dx atunci derivatele vor avea valorile:

(1)

 
          

Relatia (1) exprima ideea ca într-un interval în care variatia unei curbe este continua si uniforma, exista un punct în care tangenta la curba este paralela cu dreapta ce uneste  extremitatile intervalului. In comparatie cu metoda trapezului, metoda parabolei furnizeaza o mai buna aproximatie.

Atât aproximarea prin metoda trapezului cat si prin cea a parabolei confera proprietatea de consistenta metodei numerice.

Tipuri de metode cu diferente finite

Fie f(x,t) -un derivativ oarecare. In functie de tipul de aproximare folosit pentru derivata partiala de ordinul întâi în raport cu timpul, metoda cu diferente finite este de trei tipuri:

·                    explicita

Foloseste urmatoarea aproximare pentru derivata partiala de ordinul întâi în raport cu timpul:

    

·                    implicita

Foloseste drept aproximare:

   

·                    de tip Crank-Nicholson;

Foloseste urmatoarea aproximare:

III. Legatura dintre optiunile financiare si cele reale

Stewart C. Myers si Richard A. Brealey au fost cei care au extins conceptul de optiune asupra activelor reale.  Ei descri optiunile reale ca fiind puntea de legatura intre strategia  si finantele întreprinderii. Acestea nu numai ca ofera criterii de luare a deciziilor, dar ofera si informatii strategice privind activitatea si finantele firmei.

Optiunile reale reprezinta o extensie a conceptului de optiune asupra activelor reale. Evaluarea proiectelor de investitii ca optiuni reale presupune aplicarea teoriei optiunilor la evaluarea activelor reale intr-un mediu economic incert în care deciziile de afaceri sunt flexibile si  tin cont de oportunitatile ce apar pe masura trecerii timpului si  a rezolvarii incertitudinilor.

Procesul general acceptat de luare a deciziilor financiare are la baza modelul de decizie elaborat de Herbert Simon, care adaptat arata astfel:

  1. generarea propunerilor (proiectelor) de investitii;
  2. estimarea cash-flow-urilor asociate fiecarui proiect;
  3. evaluarea proiectelor (NPV,etc);
  4. selectarea proiectelor pe baza unui anumit criteriu;
  5. reevaluarea continua a proiectelor de investitii dupa ce acestea au fost acceptate si implementate;

Exista doua feluri de a trata optiunile reale: ca optiuni asupra activului intreprinderii si ca optiuni de investitii.

2.1. Evaluarea intreprinderii cu ajutorul optiunilor reale

Cresterea rentabilitatii si reducerea riscului unei actiuni sau al unui activ financiar se face prin intermediul cumpararii si vanzarii de optiuni. Ceea ce este foarte interesant pentru evaluarea unei intreprinderi care coteaza în bursa este faptul ca mecanismul optiunilor poate oferi, teoretic si practic, posibilitatea de evaluare a capitalurilor proprii, a datoriilor financiare riscante, precum si posibilitatea de identificare a riscului de faliment al intreprinderii.

Spre exemplu, optiunea CALL de cumparare poate caracteriza situatia financiara  a intreprinderii în perspectiva unui contract optional:

-         pretul (prima) pentru cumpararea acestei optiuni CALL reprezinta valoarea de piata a capitalurilor proprii (CPR) la inceputul (0) si la sfarsitul (1) exercitiului;

-         pretul prestabilit (de exercitiu) al optiunii reprezinta valoarea de piata a datoriilor financiare (DAT valoarea lor de rambursare), la inceputul (0) si la sfarsitul (1) exercitiului;

-         maturitatea optiunii este durata (t) de acordare a imprumuturilor;

-         cursul bursier al activului-suport reprezinta valoarea activului economic (AE  =  CPR + DAT)  la inceputul (0) si la sfarsitul (1) exercitiului;

-         rata dobanzii (d) la datoriile financiare este mai mare decat rata dobanzii de piata, fara risc, cuprinzand si o prima de risc de faliment al intreprinderii;

-         dispersia (σ2) este variabilitatea rentabilitatii activului economic al intreprinderii, finantat din surse proprii si imprumutate.

AE (activul-suport)

σ2AE

CPR

(CALL)

DAT(t)

(pret de exercitiu)

Deci valoarea capitalurilor proprii este în functie de cinci factori, CPR = f(AE, DAT, t, σ, r), si poate avea expresia data de modelul Black&Scholes:

CPR = AE  * N(d1) - DAT * e-d *t  * N(d2).

Aceste elemente variabile sunt determinate de politica actionarilor si a conducatorilor intreprinderii privind investitiile si nivelul de risc asumat, volumul datoriilor si scadenta acestora, rentabilitatea activului economic si distribuirea rezultatelor lor etc.

Aplicarea acestui model presupune respectarea urmatoarelor ipoteze:

1.      datoria firmei este sub forma unei obligatiuni zero-cupon avand valoarea nominala egala cu DAT si scadenta T;

2.      piata de capital este completa si nu permite operatiuni de arbitraj;

3.      ecuatia de dinamica a activelor este de tip standard, adica un proces Wiener fundamental;

4.      sunt indeplinite ipotezele teoremei Miller-Modigliani, respectiv in lipsa taxelor si a costurilor legate de operatiile de faliment, valoarea de piata nu depinde de structura capitalurilor firmei (raportul dintre capitalul propriu si cel imprumutat);

5.      actionarii firmei au o responsabilitate limitata.

Relatia de paritate CALL-PUT ar asigura corelatia valorilor la echilibru dintre elementele patrimoniale ale firmei:

CPR - R = AE - DAT / (1+Rf)t

Pentru evaluarea intreprinderii, la sfarsitul exercitiului financiar (peste 1 an, t=1) se poate face apel la mecanismul de evaluare a optiunii CALL, aceasta reprezentand optiunea societatii de investitii de a cumpara activul economic al intreprinderii dupa deducerea datoriilor financiare ale acesteia. Este deci optiunea de a cumpara sau nu situatia neta (SN) a intreprinderii. Daca situatia neta a crescut, valoarea optiunii CALL, respectiv valoarea capitalurilor proprii, va creste si ea. Daca situatia neta scade sau devine negativa, valoarea capitalurilor proprii scade sau devine nula.

Valoarea la scadenta a capitalurilor proprii (CPR) se comporta deci la fel ca valoarea unei optiuni CALL. Capitalurile proprii (CPR) ale unei intreprinderi pot fi vazute ca o optiune CALL asupra cumpararii activului economic (AE) daca si numai daca acesta are o valoare mai mare decat datoriile DAT intreprinderii (inclusiv dobanzile de platit). Valoarea DAT la scadenta t  a acestora exprima pretul de exercitiu la care optiunea CALL, sub forma CPR, ar putea fi exercitata. Daca AE ≤ DAT, atunci CPR = 0.

Cum insa capitalurile proprii apartin actionarilor, putem spune ca acestia sunt adevaratii proprietari ai situatiei nete a intreprinderii, daca si numai daca ei pot rambursa datoriile (DAT1) acesteia. În caz contrar, valoarea actiunilor lor scade catre zero,  deoarece actionarii au raspundere limitata (societate pe actiuni, SA, sau societate cu raspundere limitata, SRL). Valoarea actiunilor poate fi negativa si afecteaza patrimoniul lor personal daca si numai daca actionarii au raspundere nelimitata (societate în comandita, SC).

Raspunderea actionarilor poate fi asimilata cu detinerea unei optiuni PUT (de vanzare a activului firmei in caz de faliment). Valoarea de piata (R) a acestei optiuni PUT creste atunci cand valoarea activului scade, compensand pierderea.

Sunt doua situatii pentru valoarea raspunderii actionarilor:

-                     de raspundere limitata (SRL sau SA), cand valoarea PUT a raspunderii actionarilor este egala cu valoarea capitalurilor proprii si scade proportional pana la zero, cand s-au epuizat capitalurile proprii (peste aceasta limita, marimea negativa a situatiei nete indica o pierdere neta a imprumutatorilor)

-                     de raspundere nelimitata (SC), cand raspunderea actionarilor se extinde si asupra patrimoniului lor personal, prezent si viitor.

Daca PUT ar fi subscrisa de actionari si vanduta imprumutatorilor firmei, acestia ar exercita-o atunci si numai atunci cand AE < DAT, determinand acoperirea diferentei din patrimoniul lor personal (altul decat CPR = 0, pentru societatile în comandita = SC). atunci cand situatia neta creste, valoarea de piata a raspunderii actionarilor este nula, pentru ca nu se pune problema unei raspunderi daca intreprinderea isi ramburseaza datoriile.

O astfel de evaluare a intreprinderii da o perspectiva noua asupra deciziilor fundamentale ale conducerii acesteia: decizia de investitii cu impact asupra AE, RAE = (EBIT - Impozit) / AE, σ2EBIT; decizia de finantare cu impact asupra DAT si asupra distribuirii de dividende, decizia de organizare sub forma de SA sau SRL (cu raspundere limitata la CPR) sau sub forma de SC (cu raspundere nelimitata) si cu impact asupra R.

Tot în finantele corporative, optiunile pot fi utilizate în evaluarea proiectelor de investitii în mediu incert si cu variatie binomiala a cash-flow-urilor anuale pe durata n de exploatare. Modelul binomial generalizat poate fi folosit pentru a afla VAN a cash-flow-urilor anuale pe durata n de exploatare. El ofera solutii atat pentru optiunile europene (cu scadenta fixa), cat si pentru optiunile americane (ce pot fi exercitate in orice moment din interiorul valabilitatii contractului optional.

Modelul binomial generalizat poate fi folosit pentru a afla VAN a cash flow-urilor care depasesc un pret de exercitiu (cash-flow mediu de referinta); de asemenea, modelul binomial permite calcularea valorii optiunilor reale de extindere si de abandon al proiectelor de investitii intr-un arbore de decizii. Dezvoltarea modelului binomial in timp continuu conduce la modelul Black&Scholes, care reprezinta de fapt un caz particular al modelului binomial.

Tot mai mult, optiunile asupra actiunilor intreprinderilor care coteaza în bursa se folosesc pentru plata partii variabile a salariilor managerilor (chiar si ale personalului operational). Se motiveaza astfel actionarea, de catre manageri si ceilalti salariati, catre acelasi obiectiv ca si actionarii: maximizarea valorii de piata a actiunilor firmei. Cu cat aceasta din urma va fi mai mare, cu atat vor creste si salariile.

2.2. Evaluarea investitiilor cu ajutorul optiunilor reale

Deciziile de investitii sunt cele mai importante decizii la nivelul firmei în ceea ce priveste crearea de valoare. Aceste decizii determina volumul total al activelor detinute de firma, structura acestor active si riscul firmei asa cum este el perceput de investitori. Utilizarea criteriilor adecvate de selectie a proiectelor de investitii devine astfel esentiala pentru a asigura supravietuirea si dezvoltarea firmei.

Ceea ce aduce nou acest tip de evaluare este valorificarea flexibilitatii managementului intreprinderii ca raspuns la schimbarile intervenite la nivelul mediului intern sau extern al firmei. Evaluarile traditionale bazate pe actualizarea cash flow - urilor, chiar daca iau in considerare  riscurile viitoare probabile (cel mai adesea cuantificate in cadrul ratei de actualizare), nu tin cont de relatia de feedback existenta intre modificarile conjuncturii economice si deciziile managementului firmei. Astfel in evaluarea unei investitii ar trebui sa se tina cont de optiunile existente pentru dezvoltarea sa in functie de evolutiile economice viitoare ale intreprinderii sau ale pietei.

Evaluarea optiunii CALL  presupune estimarea valorii contractului ce da dreptul detinatorului, dar nu si obligatia de a cumpara o cantitate data din activul - suport al optiunii, la un pret stabilit, reprezentand pretul de exercitiu. Optiunea PUT da dreptul detinatorului, dar nu si obligatia de a vinde o cantitate data din activul-suport al optiunii, la un pret stabilit, reprezentand pretul de exercitiu.

In cazul optiunilor de tip european, cumpararea sau vanzarea activului-suport se poate face doar la scadenta contractului, in timp ce in cazul optiunilor de tip american tranzactia se poate face de-a lungul intregului interval de timp pana la scadenta.

Ideea de baza a evaluarii oportunitatilor de investitii cu ajutorul optiunilor reale consta in gasirea unei optiuni CALL sau PUT ce are caracteristici cat mai apropiate de acestea. Din pacate, diversitatea oportunitatilor de investitii face practic imposibila reproducerea acestora prin intermediul unei optiuni CALL sau PUT, avand caracteristici-standard ce pot diferi de la o piata bursiera la alta, sau in functie de activul - suport.  Ca urmare, singura posibilitate de a duplica oportunitatea de investitie cu ajutorul unei optiuni este de a construi o optiune care sa imprumute particularitatile acesteia.

Astfel, optiunea reala imprumuta o mare parte dintre caracteristicile contractului de optiune, diferenta esentiala fiind data de faptul ca acesta din urma are ca suport active negociate pe pietele bursiere, în timp ce optiunea reala este asociata proiectelor de investitii caracterizate prin flexibilitati operationale sau strategice (exista mai multe variante de evolutie a proiectului de investitie). Flexibilitatile operationale si/sau strategice intalnite în cadrul unui proiect de investitii sau al unei intreprinderi pot fi asimilate unor optiuni reale daca indeplinesc urmatoarele conditii:

·        proiectul trebuie sa fie în totalitate sau partial ireversibil. Daca totalitate a costurilor implicate în demararea proiectului pot fi recuperate, optiunea reala de amanare a proiectului nu are nici o valoare, obiectivul sau de protejare contra evolutiilor nefavorabile fiind fara sens;

·        proiectul este riscant. În lipsa incertitudinii, deciziile manageriale pot fi luate imediat; ca urmare nu se dovedeste utila amanarea realizarii lor, deci optiunile reale sunt fara valoare. Incertitudinea face valoroase proiectele ce integreaza optiuni reale;

·        gradul de libertate a deciziei managerului de-a lungul duratei de viata a proiectului. Cu cat gestiunea este mai flexibila, cu atat este mai mare valoarea proiectului  ce integreaza optiuni reale. Din aceasta perspectiva, optiunile reale pot fi asimilate flexibilitatii gestiunii proiectului ce exploateaza noile informatii aparute;

·        intervalul de timp. Exista o relatie directa intre intervalul de timp scurs si cantitatea de informatie nou aparuta. Valoarea optiunii reale va fi cu atat mai mare  cu cat scadenta sa este mai indelungata, ceea ce va permite managerilor, pe baza informatiilor nou aparute, sa ia deciziile în cunostinta de cauza. Nu trebuie uitat faptul ca amanarea demararii unui proiect poate avea si efecte adverse, ca de exemplu pierderea pozitiei dominante pe piata respectiva. Aceasta pierdere este cuantificata în marimea indicatorului "convenience yield", ce apare în cadrul modelului de evaluare Black-Scholes adaptat pentru optiuni reale, ca un corespondent al ratei dividendului pierdut de cel care detine optiunea, si nu activul - suport (în cazul optiunilor financiare).

Astfel, decizia de a dezvolta si de a implementa o noua tehnologie poate fi privita ca o optiune CALL, ce da dreptul, dar nu si obligatia de a realiza cheltuielile necesare cercetarii si punerii în functiune a acesteia. În functie de cat de "interesante" devin cash flow-urile asociate exploatarii noii tehnologii, managerul va lua decizia de a exercita sau nu optiunea (adica decizia de a aloca fonduri în cercetarea si dezvoltarea tehnologiei).

Pretul de exercitiu  al optiunii reale este dat de valoarea actuala a investitiilor implicate de demararea si derularea proiectului de investitie, iar scadenta sa reprezinta perioada ce se scurge din momentul cercetarilor si prospectiunilor de piata pana la investitia efectiva. Valoarea proiectului va fi egala cu suma actualizata a cash flow-urilor  rezultate din exploatarea sa.

Pornind de la aceste date, poate fi estimata marimea optiunii reale de dezvoltare cu ajutorul modelului Black-Scholes, deja consacrat în evaluarea optiunilor financiare:

Formula Black-Scholes

C= S * e -q(T-t)  * N(d1) - E * e-r(T-t)  * N(d2)

cu:

            ln ( S/E) + ( r + s 2/2) * (T-t)


d1 =                                                                   si 

                            s * (T-t) 1/2

   d2 = d1 - s  * (T-t) 1/2 

   N(d) = 1/(2π)1/2 *  exp(-x2/2)

unde:

S = valoarea titlului-suport al optiunii (în cazul optiunilor reale reprezinta valoarea actuala a cash flow-urilor  rezultate din exploatarea proiectului de investitii);

E =    pretul de exercitiu al optiunii (în cazul optiunilor reale reprezinta valoarea actuala a cheltuielilor implicate de proiectul de investitii);

r =     rata de dobanda fara risc instantanee (estimata din perspectiva fructificarii continue a sumei de bani echivalente costului investitiei);

t =     scadenta optiunii (în cazul optiunilor reale reprezinta intervalul de timp pana la momentul demararii proiectului de investitii), exprimata în fractiuni de an;

σ =    abaterea medie standard  a titlului - suport (în cazul optiunilor reale reprezinta variabilitatea cash flow-urilor previzionate);

q =    rata dividendului specifica activului-suport care-l acorda (în cazul optiunilor reale aceasta rata reprezinta indicatorul intalnit în literatura anglo-saxona sub denumirea de "convenience yield", ce cuantifica pierderea de valoare a proiectului prin amanarea realizarii sale).

N(d)= functia de repartitite pentru distributia normala standard.

În fapt, modelul de evaluare a optiunilor presupune analiza diverselor scenarii plauzibile de evolutie a mediului economic si a valorii activului-suport, luand în calcul probabilitatile de realizare a acestora.

Formula relativ simpla a modelului ascunde dificultati mari privind estimarea anumitor parametri, cum ar fi volatilitatea cash flow-urilor proiectului si a indicatorului "convenience yield", precum si o serie de ipoteze restrictive privind evolutia acestor indicatori. Inexistenta unei piete de tranzactionare a proiectelor de investitii face si mai dificila misiunea de evaluare prin lipsa reperelor de valoare.

Astfel, aplicarea modelului Black-Scholes pentru evaluarea optiunilor reale trebuie facuta cu prudenta, optiunile financiare (pentru care a fost construit acest model) sintetizand de cele mai multe ori doar partial caracteristicile optiunilor reale.

IV. Optiuni reale

4.1. Caracteristici ale optiunilor reale

Optiunile reale sunt analoage optiunilor financiare pe actiuni (ca activ suport), cu deosebirea ca ele au ca si investitii fundamentale (active suport) scopurile concrete (proiecte de afaceri, decizii de investire), iar regulile care guverneaza exersarea (exercitiul) sunt bazate pe realitati ale lumii fizice (mediu probabilistic dinamic si incert).

Optiunile reale au valoare strategica doar atunci când: exista incertitudine care afecteaza valoarea proiectului; managementul are flexibilitate în luarea deciziilor si este rational in luarea lor, iar strategiile identificate de management sunt credibile si  executabile;

Oportunitatea intreprinderii de a realiza o investitie  de dezvoltare este asemanatoare unei optiuni financiare tip CALL, firma avand dreptul, dar nu si obligatia, de a achizitiona activul necesar demararii proiectului de investitii. Dimpotriva, dezinvestirea sau abandonarea de catre intreprindere a unei parti din activitatile acesteia poate fi asimilata unei optiuni PUT.

4.2. Paralela optiuni financiare - optiuni reale

            Optiunile reale reprezinta o extensie a conceptului de optiune asupra activelor reale. In cazul optiunilor reale, activul suport nu este întotdeauna tranzactionabil, de aceea nu se poate construi tot timpul un  portofoliu fara risc format din derivativul respectiv si activul suport.

            Unele optiuni pot fi tranzactionabile (proiectele de investitii legate de brevete, licente) dar datorita imperfectiunilor pietei costurile ar putea fi foarte mari. De asemenea, unele proiecte pot fi abandonate înainte de expirarea duratei de viata si pot fi tranzactionate la valoarea reziduala. Desi acest lucru nu împiedica aplicarea metodelor de evaluare specifice optiunilor financiare, totusi îngreuneaza obtinerea unei evaluarii corecte si realiste.

Unele optiuni reale ofera detinatorilor drepturi exclusive asupra anumitor proiecte de investitii, fara ca acestia sa-si faca probleme cu privire la concurenta (pozitie de monopol). Concurenta influenteaza valoarea unei optiuni strategice, spre deosebire de cazul optiunilor financiare, unde aceasta nu are nici un efect asupra pretului si a modului de evaluare al acesteia.

Totusi, în cele mai multe cazuri, proiectele de investitii pot fi exercitate de oricare din participantii pe piata. Ori de cate ori unul din participanti se decide sa exercite optiunea, valoarea acesteia se diminueaza pentru ceilalti participanti. Astfel de investitii sunt cele de patrundere pe o piata în care barierele de intrare sunt reduse sau inexistente, sau de introducere a unui produs nou pentru care s-ar putea dezvolta foarte repede produse substituibile.

Spre deosebire de cele financiare, majoritatea optiunilor reale nu sunt standardizate, se pot produce o singura data (caracteristica unicitatii proiectului si a contextului de desfasurare a acestuia). De cele mai multe ori sunt non-aditive, adica doua optiuni cu prime diferite genereaza o optiune compusa cu prima inferioara sumei acestora (Trigeorgis, 1993).

Optiunea reala este "in bani" ("in-the-money"), la fel ca si cea financiara, atunci cand exercitata pe moment se obtine un venit (payoff) net pozitiv; de asemenea, cand optiunea se afla "in afara banilor" ("out-of-the-money") in momentul exercitarii, se obtine o pierdere. Ca si in cazul optiunilor financiare, in ceea ce priveste optiunile "la bani" ("at-the-money"), e mai bine sa astepti si eventual sa o exerciti mai tarziu.

Cu privire la notatiile specifice, analogia ar consta in:

C = Pretul optiunii call

P = Pretul optiunii put

S = Pretul curent al activului suport = valoarea actuala neta a investitiei

X = Pretul de exercitiu = costul (nerecuperabil) al investitiei

r = Rata dobânzii fara risc

σ = Volatilitatea activului suport = volatilitatea cash-flowurilor previzionate

µ = Rentabilitatea asteptata a activului suport

T = Timpul pana la scadenta = perioada de timp in care se poate accepta proiectul respectiv

N(x) = Probabilitatea cumulata pentru distributia normala standard.

Alte diferente intre optiunile reale si cele financiare:

·Sunt recent aparute pe piata financiara, spre deosebire de cele financiare, tranzactionate deja de trei decenii;

·Optiunile reale au maturitate lunga (cativa ani) fata de cele financiare (cateva luni);

·Activul suport este reprezentat de cash-flow-urile proiectului, nu este un activ financiar;

·Valoarea strategica a unei optiuni reale se poate mari prin flexibilitatea manageriala, pe cand la optiunile financiare nu putem controla valoarea optiunii manipuland activul suport;

·Valorile pot fi foarte mari in comparatie cu valorile optiunilor financiare, relativ mici.

·Deciziile de investitii pot fi influentate de ceilalti participanti pe piata (concurenti, furnizori). Valoarea introducerii unui produs nou pe piata va scadea daca un concurent decide sa produca exact acelasi produs. Modelele de optiuni reale neglijeaza acest aspect. Modelele dinamice (cele bazate pe teoria jocurilor) iau în considerare si deciziile celorlalti agenti pe piata.

·In cazul unei optiuni financiare valoarea curenta a activului suport este cunoscuta la momentul exercitarii optiunii . Nu acelasi lucru se poate spune despre optiunile reale. Valoarea proiectului depinde de acuratetea estimarilor cash-flow-urilor viitoare, are deci o natura stocastica.

·Multe optiuni reale dau nastere la alte optiuni reale. Astfel de optiuni sunt cele privind investitiile în cercetare-dezvoltare. Este dificil de calculat valoarea unei astfel de optiuni pentru simplul motiv ca ea nu depinde de cash-flow-urile viitoare, ci de valoarea optiunilor reale ce rezulta din exercitarea acestor optiuni care interactioneaza intre ele.

·Modelele de evaluare au la baza ipoteze ce nu sunt neaparat satisfacute de optiunile reale. Modelul Black-Scholes si modelul binomial presupun ca pretul activului suport urmeaza o distributie log-normala, rata dobânzii fara risc este constanta, la fel si volatilitatea activului suport, ceea ce nu se întâmpla în realitate.

4.3. Tipuri de optiuni reale

Majoritatea autorilor clasifica optiunile reale în trei mari categorii: optiuni de amanare a investitiei; optiuni de investire/crestere; optiuni de dezinvestire/restrangere.

Brealey si Myers (2002) impart optiunile reale in patru categorii, in functie de felul deciziei care urmeaza a fi luate:

·Optiuni de extindere a activitatii, de investitii viitoare imediate, succesive celor  anterior facute si reusite. Valoarea totala a proiectului este egala cu valoarea actualizata a cash-flow-urilor (Discounted Cash Flow) generate de noua investitie plus valoarea acestor optiuni de extindere;

·Optiuni de abandonare a unui proiect. Daca cererea pentru produsele firmei este suficient de mare, se continua productia si se obtin venituri din vanzari care justifica mentinerea investitiei; daca cererea nu este suficient de motivanta, neobtinandu-se venituri suficient de mari incat sa depaseasca ceea ce s-ar putea obtine daca s-ar renunta la afacere, se exercita optiunea reala de abandon.

·Optiuni expectative, de asteptare si urmarire a mediului de afaceri inainte de a efectua investitia propriu-zisa (timing options). Sincronizarea temporala optima a momentului investirii este facila in cazul in care nu exista incertitudine, se calculeaza valoarea actualizata  neta (NPV) la diverse date viitoare avute in vedere pentru realizarea investitiei si se alege data care indica cea mai mare valoare actualizata neta. In mediu incert, insa, proiectul poate fi castigator sau nu; daca decizia privind investirea trebuie luata pe moment ("now or never") si proiectul este profitabil, a astepta este echivalent cu a pierde sau a amana posibilitatea obtinerii de venituri viitoare; daca insa proiectul se dovedeste a fi un mare fiasco, optiunea expectativa exercitata poate impiedica producerea unor pierderi.

·Optiunea de a varia produsele firmei sau metodele ei de a produce (tehnologia), pe care o detin majoritatea afacerilor: posibilitatea de a varia oferta lor de output-uri ca reactie la cerere. In general, companiile evita dependenta de o singura sursa de aprovizionare sau de un singur loc de productie (in special multinationalele), ele jongleaza cu diverse posibilitati pe care le pot folosi sau nu la un moment dat in functie de conditiile specifice locale, in vederea obtinerii scopului final. (Kogut si Kulatilaka, 1994)

Trigeorgis (1996) grupeaza si el optiunile reale dupa o modalitate asemenatoare, tinand cont tot de tipul deciziei care urmeaza a fi luata:

1.                              optiunea de amanare ("defer option"). Managementul detine un contract de leasing asupra unui bun imobiliar sau economic de mare valoare sau, mai frecvent, are o concesiune asupra unui teren valoros ca pozitionare sau ca resurse; prin urmare poate astepta un numar de ani pentru a vedea daca preturile de valorificare a output-ului viitoarei sale afaceri justifica construirea unui imobil, unei fabrici sau dezvoltarea unui camp de extractie. Acest tip de optiune intervine in special in industria extractiva, in domeniul constructiilor imobiliare, in agricultura si in industria hartiei.

2.                              optiunea de dezvoltare esalonata ("time-to-build option"). Esalonarea cheltuielilor privind investitia si urmarirea rezultatelor preliminare ale acesteia permit abandonarea intreprinderii sau a proiectului in cazul in care aceste rezultate obtinute sunt nefavorabile. Fiecare stagiu poate fi privit ca o optiune de exercitat in functie de valoarea etapelor intermediare si poate fi evaluata ca si optiune compusa. "Time-to-build options" sunt prezente in toate industriile cu o componenta importanta de cercetare (tip R&D, Research&Development), in special cea farmaceutica, dar si in proiecte de investitii intensive si pe termen lung (cum ar fi in domeniul energetic) sau in afaceri noi, tip start-up.

3.                              optiuni de modificare a nivelului operational al unei firme: de extindere, de restrangere, de oprire si repornire a afacerii ("expand options", "contract options", "shut down and restart options"). Daca conditiile pietei sunt mai favorabile decat se astepta sau se previzionase, firma poate investi in noi echipamente de productie, sau poate accelera utilizarea resurselor, in vederea cresterii ofertei sale in raport cu cererea de pe piata. Contrar, daca piata nu raspunde dupa cum se astepta de la ea, din punct de vedere al cererii, se poate lua decizia de dezinvestire; in cazuri extreme se recurge la oprirea productiei si repornirea ei in conditii mai putin nefavorabile. Aceste optiuni au aplicativitate in minerit, dezvoltarea de facilitati, industriile ciclice, industria modei, a bunurilor de consum si a comercializarii in domeniul imobiliar.

4.                              optiunea de abandon ("abandon option"). Daca conditiile favorabile ale pietei referitoare la intreprindere intra intr-un declin sever, managementul poate abandona operatiile curente permanent si vinde echipamentele respective, obtinand valoarea acestora de piata. Acest lucru se intampla in industrii capital-intensive (precum linii aeriene, cai ferate), in sfera serviciilor financiare si in cea a introducerii de noi produse pe piete incerte.

5.                              optiuni de comutare (inputuri sau outputuri) ("switch use option"). Tot in functie de modificarea conditiilor pietei sau a preturilor, managementul poate schimba mixul de produse finite (flexibilitatea de produs, a output-ului), asa dupa cum acelasi produs poate fi fabricat utilizand diverse tipuri de materii prime (flexibilitatea procesului). Flexibilitatea produsului o vom gasi la orice firma producatoare de produse standard, pe scara larga, sau subiect al volatilitatii cererii: electronice pentru populatie, jucarii, specialitati de papetarie, componente de masini, automobile. Flexibilitatea procesului e caracteristica tuturor platformelor de fabricatie dependente de stocuri; productiei de energie electrica; industriei chimice; rotatiei recoltelor.

6.                              optiuni de crestere ("growth options"). O investitie timpurie in anumite domenii (R&D, concesiune asupra unui teren cu potential, achizitie strategica, retea de informatii) reprezinta un stadiu premergator sau o veriga intr-un lant de proiecte legate intre ele, deschizand oportunitatea cresterii viitoare (un nou produs sau proces, rezerve de petrol, accesul la o noua piata, intarirea pozitiei pe piata). Pot aparea in toate industriile bazate pe infrastructura sau in cele strategice, cum ar fi in mod special industria de inalta tehnologie, R&D, si industriile cu multiple generatii de produse si aplicatii (computere, farmaceutice); operatiuni multinationale si achizitii strategice.

7.                              optiuni multiple, care interactioneaza intre ele ("multiple interacting options"). Proiectele de investitii reale presupun exercitarea, de regula, a mai multor optiuni diferite; valoarea lor combinata difera in cele mai multe cazuri de valorile lor adunate simplu, ele interactioneaza atat intre ele, cat si cu optiuni financiare flexibile; se intalnesc in majoritatea domeniilor mentionate anterior.

4.4. Metode de analiza a proiectelor de investitii

Pentru evaluarea optiunilor reale se pot folosi si eventual adapta cu succes metodele de evaluare a optiunilor financiare, cu conditia respectarii unor ipoteze initiale:

§         O singura optiune reala sa fie modelata si evaluata la un moment dat (in cadrul literaturii de specialitate, Trigeorgis a fost cel care a depasit aceasta conditionare, propunand tratarea proiectelor de investitii ca un summum de optiuni reale, care interactioneaza intre ele si ale caror interactiuni trebuie luate in considerare).

§         Sa existe o singura sursa de incertitudine. Costurile sa fie cunoscute de la inceput si sa nu existe venituri care pot fi planificate, cunoscute din start.

§         Dividendele sau alte tipuri de remunerare sa fie cunoscute, putand fi calculate pe baza informatiilor de pe piata sau pe baza aplicarii unui procent la activul suport, si totodata constante.

§         Sa se poata efectua ajustari in vederea efectuarii evaluarii in mediu cert.

Ulterior, Trigeorgis si apoi Dixit si Pindyck au perfectionat modelele in asa fel incat sa se apropie cat mai mult de conditiile reale: mediu incert si dinamic, mai multe variabile, evaluari ale optiunilor care interactioneaza intre ele, componente ale unor strategii.

Trigeorgis (1996) identifica trei stadii în evolutia metodelor de evaluare a proiectelor de investitii: modele statice, modele controlabile si modele dinamice.

1.      Modelele statice

Trateaza proiectele de investitii ca "masini" care produc un anumit cash-flow. Pentru a putea evalua proiectele, cash-flow-urile sunt actualizate la o rata ce depinde de riscul proiectului.

Metoda cash-flow-urilor actualizate

Aceasta metoda presupune actualizarea cash-flow-urilor viitoare pentru a calcula valoarea actuala neta a proiectului.

unde CFt - cash-flow-ul asteptat la momentul t;

          r - rata de actualizare (masura  a riscului proiectului);

Daca VAN>0 atunci proiectul se accepta. In caz contrar, proiectul se refuza. Acest criteriu este consistent cu obiectivul firmelor de maximizare a averii actionarilor. Alte criterii de evaluare folosite: rata interna de rentabilitate si termenul de recuperare.

2.      Modele controlabile

In aceste modele cash-flow-urile viitoare sunt controlabile, adica managementul poate lua decizii care vor modifica valoarea acestora. Posibilitatea respectiva va fi avuta în vedere la evaluarea proiectelor de investitii pentru ca are influente asupra volatilitatii cash-flow-urilor viitoare, deci asupra valorii proiectului. In aceste modele se considera ca obiectivul managementului îl constituie maximizarea valorii cash-flow-urilor nete. Metoda bazata pe optiuni reale este un model controlabil.

  1. Modele dinamice

Aceste modele au în vedere faptul ca valoarea cash-flow-urilor viitoare este influentata nu numai de deciziile agentilor interni, dar si de cele ale agentilor externi (furnizori, clienti, concurenti). Aceste modele reprezinta o extensie a modelelor controlabile, prin aceea ca introduc  în analiza teoria jocurilor. Valoarea proiectului poate fi privita ca rezultatul unui joc între participantii pe piata.

4.5. Determinarea parametrilor pentru evaluarea optiunilor reale

Datele de intrare necesare pentru evaluarea optiunilor reale sunt aproximativ aceleasi cu cele necesare pentru orice tip de optiune. Avem nevoie de valoarea activului suport, volatilitatea activului suport, data expirarii optiunii, pretul de exercitiu, rata dobânzii fara risc si  echivalentul ratei dividendului.

Estimarea acestor indicatori poate fi extrem de dificila. Activul suport este proiectul însusi. Valoarea prezenta a activului suport este valoarea cash-flow-urilor actualizate, fara sa includem costul investitiei initiale. Este foarte probabil sa existe incertitudini cu privire la aceste valori, dar acest lucru nu trebuie privit ca un neajuns, ci ca motivul principal pentru care optiunile reale au valoare si se folosesc pentru evaluarea proiectelor.

Volatilitatea activului suport

Asa cum s-a aratat mai sus, este foarte probabil sa  existe un grad ridicat de incertitudine cu privire la valoarea cash-flow-urilor generate de proiectul de investitie. Este posibil sa nu se cunoasca cota de piata a produsului sau schimbarile tehnologice ce ar putea afecta structura costului si  a profitabilitatii produsului.

Volatilitatea cash-flow-urilor actualizate poate fi estimata în mai multe moduri:

  1. Daca în trecut au existat proiecte similare, volatilitatea cash-flow-urilor proiectelor respective ar putea fi folosita ca estimator.
  2. Se pot construi diferite scenarii de evolutie a pietei si  fiecaruia i se poate asocia o anumita probabilitate. In cadrul fiecarui scenariu se va calcula nivelul cash-flow-urilor generate de proiect, iar apoi va fi estimata volatilitatea acestora. De asemenea, fiecarei date de intrare - dimensiunea pietei, cota de piata, marja profitului - i se poate asocia o lege de distributie, iar apoi se pot efectua simulari pentru a determina volatilitatea valorilor rezultate. Aceasta modalitatea functioneaza mai ales atunci când exista una sau cel mult doua surse de incertitudine cu privire la cash-flow-urile viitoare.
  3. Volatilitatea actiunilor firmelor ce activeaza în acelasi sector de activitate poate fi folosita ca estimator al volatilitatii valorii proiectului de investitie. Spre exemplu, volatilitatea medie a actiunilor firmelor de software poate fi folosita ca estimator al volatilitatii valorii proiectelor de investitii în software.
  4. In cazul în care o firma produce un singur bun, iar acesta este tranzactionat pe pietele spot si futures, volatilitatea cash-flow-urilor proiectului poate fi aproximata cu volatilitatea pretului bunului respectiv.

Valoarea unei optiunii depinde foarte mult de volatilitatea fluxurilor de venituri, fiind direct proportionala cu aceasta. Astfel, valoarea unei optiuni aferente unui proiect de investitii într-un mediu de afaceri stabil va fi mai mica decât valoarea unei optiuni intr-un mediu în care tehnologia, concurenta si  piata se schimba rapid.

Pretul de exercitiu

Pretul de exercitiu al optiunilor reale este dat de costul investitiei initiale. Acest cost se presupune ca ramâne nemodificat în timp.

Timpul pana la maturitate si  rata fara risc

            In cazul optiunilor de amânare a investitiei, timpul pana la maturitate este dat de perioada cat firma detine drepturi asupra proiectului respectiv.

            Aceasta perioada poate fi usor estimata atunci când firmele au achizitionat drepturi explicite pentru un anumit proiect (ex.: licente, brevete), dar este mai greu cuantificabila atunci când firmele au doar avantajul concurential de a executa proiectul. Deoarece aceste avantaje se diminueaza si  dispar în timp, numarul de ani cat se estimeaza ca firma va beneficia de aceste avantaje va fi si  perioada de viata a optiunii.

Se presupune deci ca investitiile facute dupa perioada de valabilitate a proiectului au o valoare actuala neta egala cu zero, datorita concurentei care diminueaza foarte mult încasarile. In cazul optiunilor de abandonare, de închidere temporara, de schimbare a utilizarii, timpul pana la scadenta este dat de durata de viata ramasa a proiectului.        Rata fara risc care ar trebui folosita în calculul valorii optiunii este aceea corespunzatoare perioadei de viata a optiunii.

Rata dividendului

In cazul optiunilor de amânare a investitiei exista un cost de amânare atunci când valoarea actuala neta devine pozitiva. Pentru ca drepturile asupra proiectului dispar dupa o anumita perioada de timp, la fel dispar si  supraprofiturile (care sunt sursa VAN pozitive) pe masura ce apar noi concurenti.

Astfel, fiecare an de amânare a executiei proiectului se traduce intr-un an în minus de cash-flow-uri purtatoare de supraprofituri. Daca CF sunt egal distribuite în timp si  durata de viata a licentei este de n ani, costul amânarii poate fi scris astfel:

Costul anual al amânarii= 1/n

Astfel, daca drepturile asupra proiectului dureaza 20 de ani, costul anual ajunge la 5% pe an. De observat ca acest cost creste în fiecare an la 1/19 în anul 2, 1/18 în anul 3 etc.

4.6. Etapele evaluarii proiectelor de investitii pe baza optiunilor reale

1. Selectia proiectelor  ce urmeaza a fi cercetate

In prima etapa managementul stabileste care proiecte sunt viabile si merita a fi supuse analizei viitoare. Vor fi selectate acele proiecte care corespund în cea mai mare masura misiunii, obiectivelor si  viziunii firmei. Obiectivele firmei ar putea include strategii de patrundere pe noi piete, obtinere de avantaje concurentiale, achizitii, fuziuni etc.

 

2. Analiza proiectelor prin metode traditionale

Pentru fiecare proiect selectat se va calcula valoarea actuala neta folosind metode traditionale de evaluare. Aceasta etapa are loc si  atunci când este supus analizei un singur proiect. Veniturile si cheltuielile vor fi ulterior actualizate la  o rata ajustata la risc.

3. Simulare Monte Carlo

Datorita incertitudinilor care exista cu privire la acuratetea previzionarilor, rezultatul obtinut prin metoda cash-flow-urilor actualizate este nesigur.  Pentru a estima mai bine valoarea actuala neta a proiectului se poate apela la simulare Monte Carlo.

De obicei se realizeaza mai întâi o analiza de senzitivitate a valorii actuale nete în functie de  costuri, venituri, rate de impozitare, rate de actualizare, amortizare, etc. si  se studiaza variatia valorii actuale nete la modificarile variabilelor respective.

In functie de rezultatele analizei, putem apoi decide care din variabilele cheie sunt incerte si  care sunt deterministe. Acele variabile a caror variatie influenteaza cel mai mult valoarea actuala neta vor fi supuse simularii Monte Carlo pentru a putea obtine estimari ale acestora cat mai apropiate de valorile reale.

4. Definirea cadrului de aplicare a optiunilor reale

In aceasta etapa se vor identifica pentru fiecare proiect în parte, optiunile strategice existente. Acestea ar putea include: optiunea de exptindere, de abandonare, de schimbare, de amânare etc. Pe baza optiunilor strategice aferente fiecarui proiect, la diferite faze ale acestuia, se va recalcula valoarea actuala a proiectului.

5. Modelarea si  analiza problemei folosind optiuni reale

Pentru a putea aplica metoda de analiza bazata pe optiuni reale trebuie identificate datele de intrare: valoarea activului suport, volatilitatea activului suport, data expirarii optiunii, pretul de exercitiu. In functie de particularitatile fiecarui proiect si  de tipul optiunilor se pot folosi diverse modele de estimare a acestor parametri.

6. Optimizarea portofoliului de proiecte

Daca analiza se efectueaza pentru mai multe proiecte  este foarte probabil ca proiectele respective sa fie corelate între ele, astfel încât o analiza separata a acestora sa nu reflecte întru-totul realitatea.

Deoarece firmele nu au în vedere un singur proiect de investitie, optimizarea portofoliului de proiecte este cruciala. Dat fiind ca unele proiecte depind de altele, exista oportunitatea de a diversifica riscul.

Optimizarea portofoliului presupune luarea în considerare a constrângerilor bugetare si  de timp ale firmelor in vederea alocarii optime a resurselor, precum si  a cerintelor acestora privind rata rentabilitatii si  expunerea la risc,  în vederea obtinerii celui mai bun mix de proiecte.

7. Comunicarea rezultatelor

Rezultatele se comunica conducerii firmei. Prezentarea simpla si concisa nu trebuie sa contina doar rezultatele modelelor, ci întreg procesul de obtinere a lor (ipotezele, presupunerile facute si sursa datelor, precum si  operatiile matematice si  financiare ce au dus la obtinerea rezultatelor respective).

8. Actualizarea analizei

Teoria optiunilor reale are în vedere incertitudinile legate de evolutia viitoare a diversilor indicatori, iar managementul are dreptul sa faca corectii atunci când anumite incertitudini sunt rezolvate si  asteptarile nu sunt confirmate. De aceea, atunci când anumite riscuri se produc analiza ar trebui revizuita pentru a se lua noi decizii sau pentru a se modifica presupunerile initiale.

4.7. Optiuni virtuale

Un concept relativ nou în teoria financiara este acela de optiuni virtuale. In cazul optiunilor virtuale activul suport este reprezentat de informatie, iar criteriul de exercitare este dat de realitatile ce tin de fluxul de informatii (infosfera). "Informatia in afacere" implica folosirea cunostintelor pentru a spori eficienta si calificarea activitatilor care implica transformarea scopului fizic astfel incat sa se adauge valoarea si sa se mentina sau sa se creasca pozitia unei firme pe piata sau nivelul rentabilitatii.

Optiunile virtuale pot fi modelate ca fiind optiuni de achizitionare a unei informatii platind costul operatiunilor de obtinere a informatiei respective. Optiunile virtuale sunt un concept similar optiunilor reale. Deosebirea este ca activul suport în cazul optiunilor reale este un activ fizic, iar criteriile de exercitare tin de realitatile lumii materiale. Dupa exercitare o optiune reala dispare, în schimb optiunile virtuale pot fi exercitate de mai multe ori.

Optiunile virtuale completeaza evaluarea proiectelor de investitii ca optiuni reale si pot oferi o imagine si mai fidela a valorii adaugate ce rezulta din proiectele respective.

Asa cum aplicatiile investitiilor reale ofera instrumente pentru luarea de decizii imbunatatite intr-o varietate de investitii fizice, optiunile virtuale ofera imbunatatiri considerabile in sustinerea deciziilor pentru acelea ale caror actionari valorifica rezultate din operatii informationale (incluzand colectarea, depozitarea, prelucrarea, sau prezentarea informatiei).

Optiunile virtuale apar in diferite etape ale creatiei de valoare, incepand cu adunarea informatiilor. Aceasta prima etapa implica observatii ale fenomenului fizic, cu insotirea capturii de date. Urmatoarea etapa implica organizarea datelor in baze de date structurate. A treia faza consta in selectarea informatiei din depozit si, apoi, in sintetizarea ei intr-un produs informational (ca un raport, articol, sau specificatii de proiect pentru ca un produs sa fie fabricat in domeniul fizic). Apoi, produsul informational este distribuit (in reteaua de informare) si prezentat utilizatorului intr-o forma eficienta care nu necesita ca acesta sa fie un expert in domeniu. In final, utilizatorul aplica informatia astfel incat sa adauge valoarea in domeniul fizic. In acest fel, cercul este inchis cu valori adaugate in sfera fizica.

Exista cateva diferente importante intre optiunile virtuale si cele reale. Mai intai, desfasurarea unei optiuni pentru a schimba un set de informatii in schimbul altei informatii nu implica distrugerea alimentarii (dimpotriva, o optiune care sa transforme o facilitate fizica in alta tipica, implica o buna folosire a alimentarii). Asadar, intrucat multe optiuni reale se pot produce doar o data, optiunile virtuale sunt de mai lunga durata. Astfel un anume set de informatii poate spori cateva optiuni care se pot desprinde din acesta, iar desfasurarea uneia din ele nu le distruge pe celelalte. De aceea valoarea posibila generata de optiunile virtuale poate fi mai buna decat in cazul optiunilor reale.

Initial, optiunile cu informatii ca si investitii fundamentale pot fi mai potrivite pentru a implica schimbarile majore sau procesele sarite (comparativ cu optiunile care au articole fizice ca investitii fundamentale). De esemplu, o noua descoperire poate sa initieze trecere substantiala in valoarea optiunilor virtuale care apar din informatia de proprietate a unei organizatii. Din perspectiva negativa, o descoperire a unui cuncurent poate sa reduca imediat sau sa elimine valoarea optiunilor care apar din informatia de proprietate a unei organizatii. Cu obligatii limitate de optiuni, asemenea posibilitate substantiala a miscarii se transforma in valori ridicate de optiune.

                                            

 


Document Info


Accesari: 5728
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )