Mecanica - teorie, elemente de teorie mecanica

MECANICA - TEORIE, ELEMENTE DE TEORIE MECANICA

Momente in raport cu un punct

DEF: S.n. moment in raport cu un punct O,al vectorului legat (v ,A),vectorul

M_O (v ,A)=OAΛv aplicat in O.

Originea(pol):pctul O

Directia: planul (OAB)=(O,v )

Sensul:un obs. Plasat in O,┴ pe planul (OAB) observa o miscare de la DR la STG

Modulul M_O (v ,A)|=v∙d,unde d-bratul vectorului v in raport cu pct. O

DEF: S.n. moment in raport cu punctul O al vect. Alunecator (v ,D),vectorul M_O (v )=r Λv ,aplicat in O,unde r este vect. De pozitie fata de O,al unui pct. arbitrar de pe suportul D

OBS:Ptr. vectorii liberi nu se poate defini notiunea de moment intr-un pct.

Expr. Analitica: | i j k |

M_O (v ) = | x y z |

|v_x v_y v_z |

Teorema lui VARIGNON:Momentul in O al rezultantei unor vectori concurenti este egal cu suma momentelor in O lae componentelor.

Variatia momentului la schimbarea polului : M_O’ (v )=M_O (v )+O’O Λv

Momente in raport cu o axa

TEO: Fie un vector alunecator (v ,D) si o axa Δ.Proiectiile pe Δ ale momentelor lui v in raport cu pctele axei Δ sunt egale.

DEF: S.n. moment al vectorului v in raport cu o axa, proiectia pe axa, a momentului lui v luat in raport cu un pct arbitrar al axei.

NOT: M_Δ(v )

OBS:Momentul in raport cu o axa este un scalar !

Expresia Vectoriala: M_Δ(v )=(e_Δ ,OP ,v ),unde O Є Δ, P Є D

Momentul Nul(v ≠0):M_Δ(v )=0 si v ≠0 <=>v coplanar cu Δ

Consecinta la T. Varignon:Momentul in raport cu o axa a rezultantei vectorilor concurenti este egal cu suma momentelor componentelor in raport cu axa respectiva.

Formula de calcul: M_Δ(v )=+/- v’∙d’

Momentele in raport cu axele de coordinate: M_Ox M_O)_x= - yv_z - zv_y

M_Oy M_O)_y= zv_x - xv_z

M_Oz M_O)_z= xv_y - yv_x

Torsor

DEF1:Suma vectorilor sistemului se zice vector resultant R = ∑₁ⁿ v_i .R -vector liber.Not : R_O =(R ,O)

DEF2:Momentul resultant in O este suma momentelor in O ale vectorilor sistemolui M_O = ∑₁ⁿ M_O (v_i ). M_O - vector legat de O.

DEF3:Perechea ordonata formata din vectorul resultant in O si momentul resultant in O se zice TORSORUL sistemului in O.

NOT:ζ_O(S)=(R_O ,M_O ) ,unde O – pol sau centru de reducere

Calculul torsorului

R_x = ∑_iⁿ v_ix    (M_O)_x = ∑_iⁿ (yv_z – zv_y)_i

R , unde M (v ,-r )= M_O

<<<Orice sist. se redce la torsorul sau in O,cu cond. ca M_O sa reprez. un cuplu.>>>

CAZURI DE REDUCERE la 1 vect. si un Cuplu:

I. R rezultanta: cum M_O =0,axa centrala va trece prin O.

II. R = zero

Vectori Coplanari

DEF:S.n. astfel vectorii ale caror suporturi sunt continute intr-un acelasi plan

Torsorul in O: se zice sistem atasat diviziunii σ_.

Torsorul acestui sistem,intr-un pct. O,este:

R (σ ∑₁ⁿ p (M_i) s_i

M_O (σ)= ∑₁ⁿ p(M_i) s_i

DEF:S.n. sistem distrib. pe AB , cu densitatea de distr. p (M),sist. obtinut din .

OBS:Sistemul atasat unei diviziuni σ este un “sist. aprox. echivalent”cu sist. distribuit.

13.Vectori distr. pe o suprafata,corp,continuu

DEF:Limita sistemului atasat diviziunii σ ,cand (σ) 0,s.n. sistem distr. pe ξ,cu dens. de distrib. p (M).

Vect. distrib. pe un corp : Analog ptr. o diviz. a corpului in cellule σ_i de volum V_i ,definim dens. de distrib. in M_i

Torsorul sist. distr R =∫_ξp (M)dA,∫_ξM_O =r p (M)dA(distr. pe supr)

  V V(distr. pe corp)

OBS:Densitatea de distributie p (M) se zice liniara,superficiala,sau volumica,dupa cum vectorii sunt distr. pe o linie, o suprafata sau un corp.

14.Vectori paraleli distribuiti.

p (M)= p (M) .

R(σ)= ∑₁ⁿp(M_i)mesσ_i

r_c=[∑₁ⁿr_i p(M_i)mesσ_i] / ∑₁ⁿp(M_i)mesσ_i

R=∫_Cp(M)dσ

r_c =[∫_Cr p(M)dσ] / R idem ptr. dir. x,y,z ,in loc de r ,avem x,y,z

Vectori uniform distribuiti:

Daca p(M)=p=ct. – sist. uniform distribuit(p (M)=ct.)

R=p∙∫_CdV=pV

R=p(masura continuumui:V,A,L)

Concl.: Rezultanta unui sistem distr. uniform pe C, cu densitatea p egala cu p x mas. Continuului c, si e aplicata in centrul de masa geom.. al continuului C.

Mecanica-obiect,diviziuni.Modele ale corpurilor materiale.

STATICA:studiaza fortele care actioneaza corpurile fara a lua in considerare miscarea produsa, si echilibrul corpurilor.

CINEMATICA:stud. Miscarea d.p.d.v. geometric,fara a lua in considerare cauzele ce o produc-studiaza misc. posibile ale corpurilor.

DINAMICA:stud. Pb. Fundamentala:determinarea miscarii sub actiunea fortelor aplicate sau determinarea fortelor ce produc o miscare data.

Modele discrete:Pct. Material,Sist. Material,Solid Rigid

Modelul continuu(cu continut material):Suprafata Materiala,Linia Materiala.

Legaturi.Sisteme libere si legate.Grade de libertate

DEF:Un pct. material care sepoate deplasa in orice directie in spatiu s.n. Pct. Liber.Orice restrictie impusa deplasarii pctului s.n. legatura=>Pct. Legat

Un sist. material s.n. legat cand cel putin un pct. al sau este legat si liber in caz contrar.

Legaturi:I)Interioare:intre pctele sist.

II)Exterioare:intre pctele sist. si alte corpuri

Grade de Libertate

DEF:S.n. grade de libertate ale unui sistem material, parametrii scalari independenti care definesc pozitia sistemului(coord. sistemului)

Punctul liber GL

Punctul legat:s=3-g=>2GL

Nr. Gradelor de libertate ale unui sist. liber de N pcte. materiale este s=3N

---║--- legat ---║--- este

s=3N-g,s≥0,unde g-este nr. De gr. suprimate de leg.

DEF:S.n. grade de libertate ale unui sistem, variatiile virtuale indep. care definesc deplasarea virtuala compatibila cu legaturile,a sistemului.

Forta

1)Corp rigid

Ef. dinamic al fortei:imprimarea unei acc.

Ef. static al fortei:mentinera corpului in repaos(echilibru)

2)Corp deformabil

Ef. dinamic:deformarea corpului, pctele sale capatand acc.

Ef. static:deformarea pana la o config. de echilibru(deformare ”lenta”)

Forta este caract. de :

• Punct de aplicatie
• Linie de actiune(Directie)
• Sens
• Intensitate

DEF:Forta este marimea care defineste interactiunea a doua puncte materiale sau interactionea punctuala a 2 corpuri.

Forta:marime vectoriala(F -vector legat) [F ]_SI=1 N(Newton)

CLASIFICARE

1)Dupa modul de actiune:

a)Forta care actioneaza la distanta

b)forta de contact:distribuite sau concentrate

2)Dupa natura lor:

a)Forte direct aplicate(active)

b)Forte de legatura(reactiuni)(exclusive F de contact)

Principiul Eliberarii de Legaturi:Orice sist. legat se poate considera ca liber, suprimand legaturile si inlocuindu-le cu fortele corespunzatoare.

Fortele direct aplicate pot reprezenta actiunea unui camp asupra corpului.

Axiomele Staticii

1.centre de masa:

Proprietati ale centrului de masa: Proprietati generale (sistem discret si continuu).

-Centrul nu depinde de originea O sau de reperul Oxyz

-centrul se afla in planul (dreapta) pe care se afla punctele sistemului

-centrul se afla in interiorul oricarei suprafete convexe ce contine system material

-principiul combinarii partilor: Teorema: daca impatim un system in parti si concentram masa fiecarei parti in centrul ei de masa, centrul sistemului de puncte discrete astfel obrtinut coincide cucentrul de masa al sistemului dat

fie , unde _i= are masa M_i si centrul C_i

2Centre de masa:

Proprietati ale centrului de masa geometric

Daca un corp om,ogen admit un plan diametral, centrele de masa al volumului corpului se afla in planul diametral.

PP: un corp limitat de o suprafata, ce e intalnita in cel mult doua puncte de o dreapta avand o diretie ∆ data si numita coarda segmental interceptat pe o dreapta de suprafata corpului ; plan diametral conjugat directiei ∆=plan ce contine mijloacele coardelor paralele cu directia ∆.

Daca o figura plana omogena admite un diametru, centrul demasa al ariei figurii se afla pe diametru

PP: ca perimetrul figurii e intalnit in cel mult doua puncte de o dreapta de directia ∆ si numim coarda segmental interceptat pe dreapta de catre perimetru; diametrul conjugat directiei ∆ = o dreapta ce contine mijloacele coardelor de directie ∆

Daca un continut omogen admite un plan, o axa sau un centru de simetrie, cetrul de masa al continutului se afla in planul, pe axa sau in centrul de simetrie.

3Centre de masa:

Momente statice si teorema momentelor statice.

a)system discret: - produsele m_ix_i; m_iy_i; m_iz_i sunt momente statice ale masei m_i aplicata inpunctul A_i(x_i;y_i;z_i) respective in raport cu planele de coordinate yoz;zox; xoy.

Suma acstor cantitati este momentul static al sistemului

Ex:’ analog momentul sist in repaos este :

b) system continuu material – pentru diviziunea a lui avem:

de unde si analog pt un continuu omogen, definim mom statice geometrice ; pt suprafata sau linie materiala dV dA, respective dS

In particular (fig plana) avem un mom static in raport cu axa Ox, Oy:

Teorema mom statice Mom static al unui sist material in raport cu un punct sau plan este egal cu mom static al masei totale concentrate in centrul de masa, in raport cuacelasi punct sau plan.

In particular, pt mom statice geometrice: (dV dA,dS; V A,L)

Consecinte: 1. mom static inraport cu centrul de masa e nul si si =>c≡0

2. mom static in raport cu orice plan trecand prin centre de masa e nul si reciproc.

4.Echilibrul sistemelor materiale libere:

Punct liber. Solid liber.

Punct liber: def: o pozitie a unui punct material este pozitie de echilibru daca, punctual asezat fara viteza in pozitia respective, ramane indefinite in acea pozitie. Fortele de echilibru= actioneaza un punct intr-o pozitie de echilibru.

Exemplu: pct tras de 2 forte proportionale cu distanta.

Miscare: Repaus:

Teorema conditia necesara si suficienta ca un pct material sa fie in echilibru, intr-o anumita pozitie, este ca rezultanta fortelor ce actioneaza punctual sa fie nula in pozitia respectiva.

Solidul liber Echilibru

Teorema: conditia necesara si suficienta de echilibru a unui solid liber este ca fortele aplicate solidului sa formeze un system echivalent cu zero.

Sisteme de forte echivalente pentru un solid.

Def: effect asupra solidului liber este ca cele doua sisteme sa fie echivalente geometric (sa aiba acelasi torsor)

5. Echilibrul sistemelor materiale libere:

Sistem liber. Teorema fundamentala a Staticii.

Def: un system material actionat de forte e in echilibru intr-o anumita pozitie, daca asezat fara viteza in acea pozitie, sistemul ramane indefinite in acea pozitie.

1.un system e in echilibru fiecare punct al sau e in echilibru

2.daca un system e in echilibru, atunci orice parte a sa (subsistem)e in echilibru, si reciproc.

Teorema fundamentala a staticii

Teorema: conditia necesara de echilibru a oricarui system material liber, este ca fortele exterioare aplicate sistemului sa formeze un system echivalent cu zero.

Demo:

1. pentru cazul unui system de trei puncte materiale (nota in desen F12 = etc

  =rezultanta fortelor exterior aplicate punctului A_i

=fotra interioara cu care pct A_j actioneaza

asupra lui A_i

Conform principiului reactiunii

daca sist e in echilibru => fiecare punct A_i e in echilibru => fiecare sist de forte actionand pct A_i e echivalent cu zero:

0 U=> ~0

-suprimand foertele de interioare formate din perechi direct opuse sistemul obtinut va fi echivalent cu cel initial, adica cu zero =>~0

2. Cazul general al N puncte materiale.

S-sistemul tuturor fortelor aplivate sist materiale; S^E-sist fortelor exterioare

Avem: 1)S~0 fiind format din N sist concurente cu rezultanta nula

2)S~S^E pt ca S^E se obtine din S prin operatii elementare (insumari de perechi de forte direct opuse, adica forte interioare si exterioare)

3) => S^E~0

6. Conditii de echivalenta cu zero:

Sisteme de forte generale.

1. torsorul sistemului sa fie nul intr-un punct din spatiu., , exista O,
2. proiectiile pe 3 axe necoplanare, arbitrare ale vectorului resultant sa fie nule.

Momentele rezultante in raport cu 3 axe concurente si necoplanare sa fie nule. Cele 6 ecuatii universale de echilibru

momentele rezultante in doua puncte sa fie nule. Proiectia vectorilor rezultani pe o axa neperpendiculara (ne _|_) pe directia celor doua puncte sa fie nula:

x ne _|_ pe O₁O₂

4. momentele in 3 puncte necolineare sa fie nule ; O₁,O₂ ,O₃, necolineare

5. momentele sa fie nule in raport cu 6 axe dirijate cum urmeaza:

-3 dupa laturile unui triunghi

-3 trecand prin varfurile triunghiului in afara planului acestuia

  π (planul fortelor)

2. momentul resultant intr-un punct din plan sa fie nul. Proiectiile vectorului resultant, pe doua axe din plan de directii diferite sa fie nul

in raport cu un reper ortogonal Oxy in devin:

3. momentele rezultante in 2 puncte din plan sa fie nule proiectiile vectorului rezultant pe o axa din plan neperpendilcular (ne _|_) pe directia celor doua puncte sa fie nula.

O₁O₂ x ne _|_ pe O₁O₂

4.Momente rezultante in 3 puncte necolineare din plan, sa fie nule

O₁O₂ O₃ π necolineare

8. Conditii de echivalenta cu zero:

Forte paralele. ! ! ! ! ! !

9. Conditii de echivalenta cu zero – Echivalente particulare:

2 forte. 3 forte. “n” forte (structura sistemelor echivalente cu zero).

1. daca un sistem de 2 forte echivalente cu zero, atunci cele doua forte sunt direct opuse
2. daca un sistem de 3 forte e echivalent cu zero atunci:

a)      fortele sunt coplanare

b)     in planul comul ele sunt paralele sau concurente

3. daca un sistem oarecare de forte e echivalent cu zero, atunci fiecare forte e un vector direct opus rezultantei celorlalte

10. Interactiunea punctuala a doua solide:

Interactiune intr-un singur punct. Forta de legatura. Echilibrul solidului.

Interactiunea punctuala: Conform principiului reactiunii avem:

contactul punctual dintre S si S1 constituie o legatura punctuala aplicata lui S in A. Dupa

restrictiile impuse deplasarii punctului A, legatura poate fi:

reazem pe solidul S (suprafata sau curba) A S e obligata sa ramana pe S1

articulatie (sferica) A S e obligata sa ramana in punctul fix A1 S1

Forta e forta de legatura sau reactiunea legaturii

Echilibrul solidului S ( in contact punctual cu S1):

- conditia necesara si suficienta de echilibru: ~0

- fie () torsorul in A al fortelor , conditiile de echilibru sunt:

1.fortele Fi sa se reduca in A la o rezulatnta (conform

2.legatura sa dezvolte o reactiune direct opus lui R

11. Interactiunea punctuala a doua solide:

Interactiune in mai multe puncte discrete. Interactiune in punctele unei arii. Echilibrul solidului

12.Reazemul pe o suprafata:

Definitie, tipuri, grade de libertate suprimate. Reactiunea. Echilibrul solidului. Suprafata lucie

Def: -solidul S e rezemat punctual pe o suprafata S1, daca un punct AS e obligat sa ramana pe S1

Tipuri:

I.       un acelasi punct AS ramane pe S1

II.     solidul S este in contact cu S1, in puncte diferite ale lui S

reactiunea suprafetei: exista echilibru daca si numai daca

rezultanta face cu normala la suprafata S1 un unghi de cel mult

egal cu valoarea limita ( unghi de frecare)

a)      exista echilibru: α

= unghi(,n₁n) =>

exista reactiunea ’=unghi(,n₁n)   

b)nu exista echilibru: α>φ. => avem

Suprafata lucie daca e foarte mic, atunci S1 realizeaza o suprafata aproape fara frecare, la care reactiunea e apropiata de normala n₁

def: suprafata S1 e lucie, sau fara frecare daca

-reactiunea suprafetei lucii este normala la suprafata

-exista echilibru

echilibrul solidului S

a)schema solid liber: dsen pag 9

b)schema de solid legat: desen pag 9

Reazemul pe o suprafata:

Legaturi unilaterale si bilaterale. Cazuri speciale de rezemare.

Reazemul pe o suprafata lucie suprima solidului un grad de libertate.

Legaturi uni si bilaterale

Daca deplasarea lui A in directia normalei S1 este impiedicata :

a)      in ambele sensuri legatura este bilatrala

b)     intr-un singur sens legatura este unilaterala

legaturi bilaterale:    desen pag 10 II12

legaturi unilaterale:

A) S-simplu asezat pe S1 B) AS legat de A1 prin fir

desen pag 10 II12

Cazuri speciale de rezemare:

reazemul pe un colt (pct singular al lui S1)

Daca punctual de contact A este punctual singular pe S1, reactiunea N are directia normalei in A, al S    Desen pag 10 II12

legatura prin pendul si fir

Pendul: bara rigida fara greutate, ce leaga un punct AS de un pct fix A1, si care nu are forte aplocate pe segmentul AA1

-reactiunea pendulului este o fort ace are directia pendulului

desen pag10 II12

Legatura prin pendul si prin fir:

Pendul: definitie, reactiunea. Cazul firului.! ! ! ! !!!

Reazemul pe o curba:

Definitie, tipuri. Grade de libertate suprimate. Reactiunea, curba lucie. Echilibrul solidului.

Def: solidul S reazema pe curba C daca un punct AS este obligat sa ramana pe curba C

Tipuri: -acelasi punct A ramane pe C

-solidul S ramane in contact cu C in puncte diferite ale lui S

Conditii de echilibru: ,() torsorul in A al fortelor

Echilibrul exista doar daca :

face cu planul normal la curba in A un unghi =unghi de frecare)

-reactiunea lui se poate incluna fata de planul normal cu un unghi

| ≤ tg e reactiunea tangentei sau forta de frexare , dirijata dupa tangenta in A la C; e reactiunea normala ( <planul normal la C in A)

Curba lucie:

Def: curba este lucie sau fara frecare, daca =0 (sau

reactiunea e normala la curba

exista echilibru rezultanata _|_ C

echilibru: -solid legat, conditii de echilibru : ; ;

desen pag 12 II14

-solid liber: conditii de echilibru: ; ;

desen pag 12 II14

Numarul gardelor de libertate ale solidului : s=6-g (spatiu) s=3-g (plan)

Unde g este numarulde grade suprimate

Echilibrul solidului supus la legaturi:

Articulatia cilindrica in spatiu si in plan.

1. in spatiu:

def: - solidul S e legat printr-o articulatie cilindrica inA, daca AS reazema pe o axa lucie

-planul normal in A la axa se numeste planul articulatriei

Echilibrul: - pentru echilibru e necesar si sufficient ca fortele aplicat elui S sa se reduca in A la o rezultanta continua in planul articulatiei desen pag 13 II15

Reactiunea:

a articulatie e continua in planul articulatiei ( normala la axa zz’), de determina prin proiectiile pe doua axe din acest plan, notate ( R_AX; R_AY) sau (X_A,Y_A) in pozitia de echilibru

Grade de libertate: articulatia silindrica suprima solidului 2 grade de librtate , si permite delpasarea punctului A pe axa zz’ si interzice orice deplasare inplanul articulatiei

2. in plan

def: o placa plana ce ramane in planul ei se numeste articulate cilindric in A, daca reazema un A pe o axa normala la planul placii

dsen pag 13 II15 echilibrul: - pentru echilibru e necesar si sufficient ca M_A=0, adica

fortele sa se reduca in A la o rezultanta

Reactiunea : = continua in planul placii. se determina prin

coordonatele in sistemul fix AX₁Y₁ sau prin modulul R_Asi unghiul

cu axa A_X

grade de libertate: deplasarea punctului A in planul placii este interzisa, deci A este fixat in planul placii. Articulatia cilindrica suprima placii 2 grade de libertate. Singurul grad de libertate al placii este unghiul al axei X, legate de placa, cu axa fixa X₁.

Reprezentari conventionale ale articulatiei in plan:

Desen pag 13 II15

17. Echilibrul solidului supus la legaturi:

Articulatia sferica. Incastrarea in plan.

Articulatia sferica: def: articulatia sferica e legatura ce oblige un punct A al solidului sa ramana intr-o pozitie fixa in spatiu

Desen pag 14 II16 a) echilibru. Reactiunea A S₁ fixat; actiunea liu S₁ asupra lui S e

  o forta aplicata lui S in A

-reactiunea poate avea orice directie si orice modul; se

defineste prin coordonatele (X_A, Y_A, Z_A,) si reperul A_XYZ

Conditia de echilibru: =0, adica sa se reduca in A la o rezultanta , unde

Grade de librtate: articulatia sferica suprima solidului 3 grade de libertate (parametric ce definesc directiile axelor legate de solid, in raport cu axele fixe). Deplasarea permisa pt solid este rotatia in jurul oricarei axe trecand prin A

Incastrarea in plan:

Def: un solid S in planul e incastrat in alt solid S₁ (din ), daca punctele unui segment ∑ ale lui S sunt fixate in raport cu S₁

-segmentul ∑ din S, ale carui puncte sunt fixate in raport cu S₁,

este zona de incastrare (plana)

Grade de libertate: - solidul S avand 2 puncte din ∑ fixate, este

fixat in raport cu S₁. Daca S₁e fixat in π, atunci S nu are nici un

grad de libertate (are aceleasi grade ca si S₁)

Echilibru. Reactiunea :

Torsorul in A ∑ este , (nota: M –de mana)

Conditii de echilibru: (nota primul M –de mana) oricare ar fi aplicat lui S₁}

Penru =O_XY si O_Z _|_ avem X_A=- ; Y_A=- ; (nota urmatorul M e de mana, al doilea de tipar) M_A=-, nota urmatorii 2 Rsunt de mana poate fi definit prin modulul lui si unghiul

Echilibrul solidului supus la legaturi:

Incastrarea in spatiu

Def: solidul S se numeste incastrat in solidul S₁ daca punctele unei sectiuni plane ∑ a lui S₁ sunt fixate in raport cu S₁

sectiunea ∑ se numeste zona de incastrare, S₁ este fix.

Desen pag 15 II17 Grade de libertate: solidul S este fix in raport cu S₁; S si S₁ se pot

considera ca un singur solid, si S va avea aceleasi gade de libertate

ca si S₁

Echilibrul lui S. reactiunea incastrarii:

Oricare ar fi A ∑: (nota umatR si M de mana) -torsorul in A al fortelor de legatura distribuite pe ∑

- torsorulin A al fortelor direct aplicate lui S

Conditii de echilibru:

(un M e de mana) => ,

Echilibrul solidului supus la legaturi:

Legaturi: Grade de libertate suprimate; necunoscute scalare introduse de forta de legatura; echivalenta in penduli. Problema: metoda, necunoscute si ecuatii.

Nr gradelor de librtate : S= 6-g (spatiu) S=3-g (plan)

G=numarul gradelor de libertate suprimate de catre legaturile aplicate

numarul parametrilor scalar ice definesc forta de legatura - p –

nr pendulilor echivalenti cu legatura respective ( in general g≤p)

numarul apparent de grade de libertate Sa=6-p (spatiu) Sa=3-p (plan) S≥Sa.

Solidul are grade de libertate daca S>0 sau g<6 (spatiu) g>3 (plan)

Solidul nu are grade de libertate daca S=0 g=6 (g=3)

Probleme: Necunoscute si ecuatii

Necunoscute: 1)solidul cu grade de libertate S>0 n g<6 nr necunoscute = S + p≥6 ( S+p≥3 , pt plan) ( conform p≥g => S+p≥S+g=6)

2)solidul fara grade de libertate (fixat) S=0 nr necunoscute = p≥6 (p≥3)

ecuatii: numarul de ecuatii scalare de chilibru, independente, est:

6-pentru solidul in spatiu ( actionat de un system general de forte)

3-pentru solidul in plan ( actionat de forte coplanare)

Ecuatiile de echilibru sunt liniare in raport cu modulul sau valoarea algebrica F, ale unei forte aplicata solidului

Numarul necunoscutelor = nr ecuatiilor g = p

Metoda de rezolvare : a) solid cu grade de libertate: determinarea pozitiei de echilibru si a fortelor de legatura

b)solidul legat fix : determinarea fortelor de legatura

metoda: -se elibereaza solidul de legaturi, introducand forte de legatura corespunzatoare legaturilor suprimate => solid liber, sub actiunea fortelor direct aplicate si fortele de legatura Lm

se exprima echivalenta cu zero a sistemului de forte

Legarea fixa a solidului:

Cazurile de legare fixa a solidului in plan, cu numarul minim necesar de legaturi

In acest caz in sistemul (1), numaul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor p=6 (in spatiu) [p=3 (in plan) => sistemul (1) va avea 3 ecuatii]

unde Xi-scalarii ce definesc fortele de legatura

iar b_k = functii liniare de modulele fortelor aplicate F_i

Teorema: un solid legat cu numar minim necesar de legaturi e fixat determinantul sistemului ecuatiei d echilibru e definit de zero in pozitia D≠0

Legarea fixa a solidului in plan ( cu numar minim de legaturi)

Legaturile trebuie sa fie echivalente cu p=3 penduli. Acesta se poate realize prin:

1)o incastrare in plan; 2)o articulatie cilindrica + un reazem simplu 3)trei reazeme simple

1) o incastrare : ec de echilibru:

(nota M din mijloc ii de mana) –care

Desen pag 17 II19    determina pe X_A Y_A M_A, ; Determinantul sistemului D=1

=>incastrarea realizeaza fixarea sistemului.

2) o articulatie si un reazem simplu

-fixarea sistemului     -nefixarea sistemului

desen pag 17 II19

pentru a forma o configuratie de sist nule trebuie sa aiba acelasi support. Aceasta se poate suportul lui trece prin A. rezulta criteriul de fixare cu o articulatie si un reazem simplu

-solidul e fixat suportul reactiunii reazemului simplu nu trece prin punctual de articulatie.

3) trei reazeme simple

a) fixare: suporturile formeaza un triunghi propriu sau degenerate

Desen pag 18 II19

b) nefixare: suporturile sunt concurente sau paralele